Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se a função vetorial é contínua no ponto . Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções vetoriais e verificar se cada componente da função é contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial é contínua em um ponto se todas as suas componentes escalares forem contínuas nesse ponto. Aqui, as componentes são na direção e na direção . Então, precisamos verificar a continuidade de e de em .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente, . A função exponencial é contínua para todos os valores de , incluindo . Isso significa que não há problema aqui; a componente é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente, . A é a função que representa o inverso do seno, ou seja, . A continuidade dessa função depende da continuidade de e de onde o denominador não é zero.

Passo 5

Sabemos que é contínua em todo o seu domínio, mas ela é igual a zero em . Então, em , se torna , o que não está definido. Isso significa que não é contínua em .

Passo 6

Como uma das componentes da função vetorial não é contínua em , concluímos que a função vetorial inteira também não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função vetorial não é contínua em porque a componente não está definida nesse ponto.

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Obtenha o limite.