Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se a função vetorial
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções vetoriais e verificar se cada componente da função é contínua em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial é contínua em um ponto se todas as suas componentes escalares forem contínuas nesse ponto. Aqui, as componentes são
na direção
e
na direção
. Então, precisamos verificar a continuidade de
e de
em
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente,
. A função exponencial
é contínua para todos os valores de
, incluindo
. Isso significa que não há problema aqui; a componente
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente,
. A
é a função que representa o inverso do seno, ou seja,
. A continuidade dessa função depende da continuidade de
e de onde o denominador
não é zero.
Passo 5
Sabemos que
é contínua em todo o seu domínio, mas ela é igual a zero em
. Então, em
,
se torna
, o que não está definido. Isso significa que
não é contínua em
.
Passo 6
Como uma das componentes da função vetorial
não é contínua em
, concluímos que a função vetorial inteira
também não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função vetorial
não é contínua em
porque a componente
não está definida nesse ponto.
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Obtenha o limite.