Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função vetorial
é contínua em
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente sobre continuidade de funções vetoriais. Vamos precisar lembrar como verificar a continuidade de funções componente por componente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função vetorial ser contínua em um ponto. Uma função vetorial
é contínua em
se ambas as funções escalares
e
forem contínuas em
.
Passo 3
Então, vamos separar nossa função vetorial nas suas componentes:
- A componente na direção
é . - A componente na direção
é .
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade de cada componente em
.
Para
:
- A função seno é contínua em todos os reais, então
é contínua em .
Para
:
- É uma função linear, que também é contínua em todos os reais, incluindo
.
Passo 5
Como ambas as componentes
e
são contínuas em
, podemos concluir que a função vetorial
também é contínua em
.
Resposta
Sim, a função vetorial
é contínua em
.