Determine se r(t) é uma função lisa de parâmetro t.
r(t) = cos(t^2) i + sen(t^2) j + e^(-t) k

Passo 1

Beleza, então a gente tem esse exercício que pede pra gente descobrir se a função vetorial é uma função lisa de parâmetro . A matéria que envolve aqui é cálculo vetorial, mais especificamente sobre funções lisas, que são aquelas que têm derivadas de todas as ordens. Vamos precisar verificar se cada componente dessa função vetorial é lisa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser lisa. Uma função lisa é aquela que é suave, ou seja, ela pode ser derivada quantas vezes a gente quiser e todas essas derivadas existem e são contínuas. Em termos matemáticos, uma função é lisa se ela pertence à classe , significando que todas as suas derivadas de ordem superior existem e são contínuas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para cada componente da nossa função vetorial :
  1. Componente :
    • A função é lisa em todos os pontos, e a composição com também mantém essa propriedade porque polinômios são funções lisas.
  2. Componente :
    • Similarmente, é lisa em todos os pontos, e a composição com também é uma função lisa.
  3. Componente :
    • A função exponencial é lisa em todo o seu domínio, e multiplicar por não altera essa propriedade.

Passo 4

Como cada componente da função vetorial é lisa, a função vetorial inteira também é lisa. Isso porque a soma de funções lisas resulta em uma função lisa.

Resposta

Sim, é uma função lisa de parâmetro .

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