Determine se
é uma função lisa de parâmetro
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem esse exercício que pede pra gente descobrir se a função vetorial é uma função lisa de parâmetro
. A matéria que envolve aqui é cálculo vetorial, mais especificamente sobre funções lisas, que são aquelas que têm derivadas de todas as ordens. Vamos precisar verificar se cada componente dessa função vetorial é lisa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser lisa. Uma função lisa é aquela que é suave, ou seja, ela pode ser derivada quantas vezes a gente quiser e todas essas derivadas existem e são contínuas. Em termos matemáticos, uma função
é lisa se ela pertence à classe
, significando que todas as suas derivadas de ordem superior existem e são contínuas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para cada componente da nossa função vetorial
:
-
Componente
: - A função
é lisa em todos os pontos, e a composição com também mantém essa propriedade porque polinômios são funções lisas.
- A função
-
Componente
: - Similarmente, é lisa em todos os pontos, e a composição com
também é uma função lisa.
- Similarmente, é lisa em todos os pontos, e a composição com
-
Componente
: - A função exponencial
é lisa em todo o seu domínio, e multiplicar por não altera essa propriedade.
- A função exponencial
Passo 4
Como cada componente da função vetorial
é lisa, a função vetorial inteira também é lisa. Isso porque a soma de funções lisas resulta em uma função lisa.
Resposta
Sim,
é uma função lisa de parâmetro
.