Seja
dada por
. Determine o conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que mapeia um conjunto
para o intervalo
. Nosso objetivo é descobrir qual é esse conjunto
. Para isso, vamos usar conceitos de funções, domínios e resolução de desigualdades envolvendo frações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o conjunto
. Ele representa todos os valores de
para os quais a função
está bem definida e satisfazendo a condição que o valor de
está no intervalo
.
Mas antes de mais nada, vamos garantir que a função está bem definida. Pra isso, o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe.
Passo 3
Então, vamos encontrar os valores de
que fazem o denominador
ser zero:
Isso significa que
não pode estar em
, pois aí a função não está definida. Assim, já sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a condição dada pela função:
deve estar no intervalo
. Matemáticamente, isso se traduz em duas desigualdades:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a desigualdade:
Para resolver isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão
. Mas atenção! Precisamos considerar o sinal do denominador porque se for negativo, o sentido da desigualdade muda.
Então, vamos dividir em dois casos:
Caso 1:
(ou seja,
)
Multiplicando sem mudar o sentido da desigualdade:
Mas lembrando que nesse caso
, então a solução desse caso é
.
Caso 2:
(ou seja,
)
Multiplicando e invertendo o sentido da desigualdade:
Neste caso, estamos considerando
, então a solução é
.
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda desigualdade:
Mais uma vez, multiplicamos ambos os lados pelo denominador
e consideramos o sinal.
Caso 1:
(ou seja,
)
Multiplicando sem mudar o sentido:
Caso 2:
(ou seja,
)
Multiplicando e invertendo o sentido:
Como estamos no caso
, a solução é
.
Passo 7
Agora, vamos combinar as soluções obtidas das duas desigualdades.
Da primeira desigualdade:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Da segunda desigualdade:
- Para
, temos . - Para
, temos (mas já sabemos que ).
Então, a interseção das soluções nos casos:
Para
:
-
e ⇒ .
Para
:
-
e ⇒ .
Resposta
O conjunto
é dado por todos os números reais menores que
ou maiores ou iguais a
, ou seja: