Seja f: A -> [-8, 1[ dada por f(x) = (3 + 2 x) / (2 - x). Determine o conjunto A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mapeia um conjunto para o intervalo . Nosso objetivo é descobrir qual é esse conjunto . Para isso, vamos usar conceitos de funções, domínios e resolução de desigualdades envolvendo frações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o conjunto . Ele representa todos os valores de para os quais a função está bem definida e satisfazendo a condição que o valor de está no intervalo .
Mas antes de mais nada, vamos garantir que a função está bem definida. Pra isso, o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe.

Passo 3

Então, vamos encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero:
Isso significa que não pode estar em , pois aí a função não está definida. Assim, já sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos considerar a condição dada pela função: deve estar no intervalo . Matemáticamente, isso se traduz em duas desigualdades:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a desigualdade:
Para resolver isso, multiplicamos ambos os lados pela expressão . Mas atenção! Precisamos considerar o sinal do denominador porque se for negativo, o sentido da desigualdade muda.
Então, vamos dividir em dois casos:
Caso 1: (ou seja, )
Multiplicando sem mudar o sentido da desigualdade:
Mas lembrando que nesse caso , então a solução desse caso é .
Caso 2: (ou seja, )
Multiplicando e invertendo o sentido da desigualdade:
Neste caso, estamos considerando , então a solução é .

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda desigualdade:
Mais uma vez, multiplicamos ambos os lados pelo denominador e consideramos o sinal.
Caso 1: (ou seja, )
Multiplicando sem mudar o sentido:
Caso 2: (ou seja, )
Multiplicando e invertendo o sentido:
Como estamos no caso , a solução é .

Passo 7

Agora, vamos combinar as soluções obtidas das duas desigualdades.
Da primeira desigualdade:
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Da segunda desigualdade:
  • Para , temos .
  • Para , temos (mas já sabemos que ).
Então, a interseção das soluções nos casos:
Para :
  • e .
Para :
  • e .

Resposta

O conjunto é dado por todos os números reais menores que ou maiores ou iguais a , ou seja:

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