Seja a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Determine e esboce o gráfico das curvas de nível correspondentes a
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função
. O que a gente precisa fazer é:
- Determinar o domínio dessa função e representá-lo graficamente.
- Determinar e esboçar as curvas de nível para
e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de domínio de funções logarítmicas e curvas de nível. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. No caso de funções logarítmicas, o argumento do logaritmo tem que ser maior que zero. Então, temos que:
Isso garante que o logaritmo esteja definido.
Passo 3
Vamos resolver a inequação:
Isso descreve o domínio da função. Geometricamente, essa inequação representa o exterior de uma elipse.
Passo 4
Para representar graficamente o domínio, vamos desenhar a curva onde a inequação se iguala a zero:
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem. O domínio será todas as regiões onde
é maior que 1, ou seja, fora dessa elipse.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: determinar e esboçar as curvas de nível para
e
.
Uma curva de nível é onde a função
é constante, ou seja:
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Então,
. Essa é a equação de uma elipse para valores de
que tornam o lado direito positivo.
Passo 7
Para
:
Essa é uma elipse maior que a do domínio.
Para
:
Essa elipse também está fora da elipse do domínio, mas menor que a de
.
Passo 8
Resumindo:
- O domínio da função
é o conjunto de pontos que estão fora da elipse . - As curvas de nível para
e são elipses dadas por e , respectivamente.
Resposta
O domínio da função é o conjunto de pontos
onde
. As curvas de nível correspondentes a
e
são, respectivamente, as elipses
e
.