Seja a função f(x, y) = ln(2 x^2 + y^2 - 1).
  1. Determine o domínio e represente-o graficamente;
  2. Determine e esboce o gráfico das curvas de nível correspondentes a c = 1, e c = -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função . O que a gente precisa fazer é:
  1. Determinar o domínio dessa função e representá-lo graficamente.
  2. Determinar e esboçar as curvas de nível para e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de domínio de funções logarítmicas e curvas de nível. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. No caso de funções logarítmicas, o argumento do logaritmo tem que ser maior que zero. Então, temos que:
Isso garante que o logaritmo esteja definido.

Passo 3

Vamos resolver a inequação:
Isso descreve o domínio da função. Geometricamente, essa inequação representa o exterior de uma elipse.

Passo 4

Para representar graficamente o domínio, vamos desenhar a curva onde a inequação se iguala a zero:
Essa é a equação de uma elipse centrada na origem. O domínio será todas as regiões onde é maior que 1, ou seja, fora dessa elipse.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: determinar e esboçar as curvas de nível para e .
Uma curva de nível é onde a função é constante, ou seja:
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver para :
Então, . Essa é a equação de uma elipse para valores de que tornam o lado direito positivo.

Passo 7

Para :
Essa é uma elipse maior que a do domínio.
Para :
Essa elipse também está fora da elipse do domínio, mas menor que a de .

Passo 8

Resumindo:
  • O domínio da função é o conjunto de pontos que estão fora da elipse .
  • As curvas de nível para e são elipses dadas por e , respectivamente.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de pontos onde . As curvas de nível correspondentes a e são, respectivamente, as elipses e .

Exercícios relacionados