Determine se e b) são funções vetoriais lisas de parâmetro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se duas funções vetoriais dadas são “suaves”. Isso está relacionado a cálculo, especificamente ao estudo de funções vetoriais e suas propriedades de suavidade. Para resolver isso, vamos precisar analisar as derivadas das funções e verificar se elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função vetorial ser “suave”. Uma função vetorial é considerada suave se ela for diferenciável e sua derivada seja contínua no domínio considerado. Isso significa que conseguimos calcular a velocidade dessa função em qualquer ponto e não há “quebras” ou “pontos angulosos” na trajetória.

Passo 3

Vamos começar analisando a primeira função vetorial:
Para verificar se ela é suave, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a e checar se essa derivada é contínua.

Passo 4

Calculando a derivada de :
A derivada existe para todo real e é uma função polinomial, que é contínua em todo seu domínio.

Passo 5

Já que existe e é contínua para todo , podemos concluir que a primeira função vetorial é suave.

Passo 6

Agora, vamos analisar a segunda função vetorial:
Novamente, vamos calcular sua derivada e verificar a continuidade.

Passo 7

Calculando a derivada de :
Vamos calcular cada componente:
Então,
Todas essas funções derivadas são contínuas para todo valor real de .

Passo 8

Como existe e é contínua para todo , a segunda função vetorial também é suave.

Resposta

Ambas as funções vetoriais são suaves em todo o seu domínio.

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