Determine se
e b)
são funções vetoriais lisas de parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se duas funções vetoriais dadas são “suaves”. Isso está relacionado a cálculo, especificamente ao estudo de funções vetoriais e suas propriedades de suavidade. Para resolver isso, vamos precisar analisar as derivadas das funções e verificar se elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função vetorial ser “suave”. Uma função vetorial é considerada suave se ela for diferenciável e sua derivada seja contínua no domínio considerado. Isso significa que conseguimos calcular a velocidade dessa função em qualquer ponto e não há “quebras” ou “pontos angulosos” na trajetória.
Passo 3
Vamos começar analisando a primeira função vetorial:
Para verificar se ela é suave, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a
e checar se essa derivada é contínua.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
A derivada
existe para todo
real e é uma função polinomial, que é contínua em todo seu domínio.
Passo 5
Já que
existe e é contínua para todo
, podemos concluir que a primeira função vetorial é suave.
Passo 6
Agora, vamos analisar a segunda função vetorial:
Novamente, vamos calcular sua derivada e verificar a continuidade.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Todas essas funções derivadas são contínuas para todo valor real de
.
Passo 8
Como
existe e é contínua para todo
, a segunda função vetorial também é suave.
Resposta
Ambas as funções vetoriais são suaves em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente a trajetória de
no ponto em que
.
.
Obtenha
e
no ponto dado.
.
Sejam
e
funções vetoriais no espaço tridimensional, mostre que
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