Obtenha uma equação vetorial da reta tangente a trajetória de r(t) no ponto em que t = t0. r(t) = t^2 * i - 1/(t+1) * j + (4 - t^2) * k ; t0 = -2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial da reta tangente à trajetória dada por no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor posição no instante . Isso significa substituir por -2 na função .
Calculando cada componente:
Então, o ponto na trajetória quando é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor velocidade nesse ponto, que é a derivada de em relação a . Vamos calcular :
Calculando cada derivada:
Então,
Agora, substituímos :
Esse é o vetor diretor da reta tangente.

Passo 4

Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação vetorial da reta tangente. A forma geral é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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