Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .
4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função vetorial , e queremos determinar se ela possui uma parametrização lisa. Isso significa verificar se a derivada é contínua e diferente de zero. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e analisar suas propriedades.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente individualmente:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :
Portanto, a derivada da função vetorial é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se é contínua no domínio da função original. Vamos analisar cada componente:
  1. Componente : A função cosseno é contínua para todo , então essa componente é contínua.
  2. Componente : Essa expressão é contínua para , já que deve ser positivo para que esteja definida no enunciado original.
  3. Componente : Essa é uma função polinomial, que é contínua para todo .
Como todas as componentes são contínuas para , concluímos que é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se é diferente de zero para todo . Isso significa que o vetor derivada nunca deve ser o vetor nulo.
Vamos analisar cada componente:
  • Componente : Pode ser zero para valores específicos de , como quando , ou seja, para , onde é um número inteiro.
Mesmo que essa componente seja zero em alguns pontos, temos que verificar as outras componentes nesses mesmos pontos:
  • Componente : Para , onde é inteiro e , essa expressão não é zero, pois:
  • Componente : Substituindo :
Portanto, mesmo que a componente seja zero em alguns pontos, as componentes e não são zero simultaneamente nesses pontos. Assim, para todo .

Resposta

A função possui parametrização lisa, pois sua derivada é contínua e nunca nula para todo .

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5.
(a)