Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
4.
4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função vetorial
, e queremos determinar se ela possui uma parametrização lisa. Isso significa verificar se a derivada
é contínua e diferente de zero. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e analisar suas propriedades.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada componente individualmente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Portanto, a derivada da função vetorial é:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
é contínua no domínio da função original. Vamos analisar cada componente:
-
Componente
: A função cosseno é contínua para todo , então essa componente é contínua. -
Componente
: Essa expressão é contínua para , já que deve ser positivo para que esteja definida no enunciado original. -
Componente
: Essa é uma função polinomial, que é contínua para todo .
Como todas as componentes são contínuas para
, concluímos que
é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se
é diferente de zero para todo
. Isso significa que o vetor derivada nunca deve ser o vetor nulo.
Vamos analisar cada componente:
- Componente
: Pode ser zero para valores específicos de , como quando , ou seja, para , onde é um número inteiro.
Mesmo que essa componente seja zero em alguns pontos, temos que verificar as outras componentes nesses mesmos pontos:
-
Componente
: Para , onde é inteiro e , essa expressão não é zero, pois: -
Componente
: Substituindo :
Portanto, mesmo que a componente
seja zero em alguns pontos, as componentes
e
não são zero simultaneamente nesses pontos. Assim,
para todo
.
Resposta
A função
possui parametrização lisa, pois sua derivada
é contínua e nunca nula para todo
.
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Fazendo a mudança de variável adequada, resolva:
Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
5.
(a)
5.
(a)