Determine se r(t) possui parametrização lisa, isto é, se r^prime(t) é contínua e neq 0.
4. r(t)=sen pi t i+(2 t-ln t) j+(t^2-t) k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função vetorial r(t) = sin(pi t),i + (2 t - ln t),j + (t^2 - t),k, e queremos determinar se ela possui uma parametrização lisa. Isso significa verificar se a derivada r^prime(t) é contínua e diferente de zero. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e analisar suas propriedades.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a t. Então, temos:
r^prime(t) = ddt [sin(pi t)],i + ddt [2 t - ln t],j + ddt [t^2 - t],k

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente individualmente:
  1. Componente i:
    ddt sin(pi t) = pi cos(pi t)
  2. Componente j:
    ddt (2 t - ln t) = 2 - 1t
  3. Componente k:
    ddt (t^2 - t) = 2 t - 1
Portanto, a derivada da função vetorial é:
r^prime(t) = pi cos(pi t),i + (2 - 1t),j + (2 t - 1),k

Passo 4

Agora, precisamos verificar se r^prime(t) é contínua no domínio da função original. Vamos analisar cada componente:
  1. Componente pi cos(pi t): A função cosseno é contínua para todo t, então essa componente é contínua.
  2. Componente 2 - 1t: Essa expressão é contínua para t > 0, já que t deve ser positivo para que ln t esteja definida no enunciado original.
  3. Componente 2 t - 1: Essa é uma função polinomial, que é contínua para todo t.
Como todas as componentes são contínuas para t > 0, concluímos que r^prime(t) é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se r^prime(t) é diferente de zero para todo t > 0. Isso significa que o vetor derivada nunca deve ser o vetor nulo.
Vamos analisar cada componente:
  • Componente pi cos(pi t): Pode ser zero para valores específicos de t, como quando cos(pi t) = 0, ou seja, para t = 12 + n, onde n é um número inteiro.
Mesmo que essa componente seja zero em alguns pontos, temos que verificar as outras componentes nesses mesmos pontos:
  • Componente 2 - 1t: Para t = 12 + n, onde n é inteiro e n >= 0, essa expressão não é zero, pois:
    2 - 112 + n = 2 - 112 + n neq 0
  • Componente 2 t - 1: Substituindo t = 12 + n:
    2(12 + n) - 1 = 1 + 2n - 1 = 2n neq 0 para n >= 0
Portanto, mesmo que a componente i seja zero em alguns pontos, as componentes j e k não são zero simultaneamente nesses pontos. Assim, r^prime(t) neq 0 para todo t > 0.

Resposta

A função r(t) possui parametrização lisa, pois sua derivada r^prime(t) é contínua e nunca nula para todo t > 0.

Exercícios relacionados