Fazendo a mudança de variável adequada, resolva: (0.5) integral sen(2 x) raiz1+cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo integral que envolve uma mudança de variável para simplificar a resolução. Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de substituição e entender como manipular expressões trigonométricas dentro de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a constante que está multiplicando a integral. O 0.5 integral sen(2x) raiz1 + cos^2(x) , dx = 12 integral sen(2x) raiz1 + cos^2(x) , dx pode ser colocado em evidência:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a integração. Observamos que dentro da raiz temos u = cos(x) . Vamos definir:
dudx = -sen(x) Rightarrow du = -sen(x) dx
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Precisamos expressar toda a integral em termos de sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) = 2 sen(x) u . Olhando para , podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 5

Substituímos por integral sen(x) u raiz1 + u^2 , dx = integral u raiz1 + u^2 (-du) = -integral u raiz1 + u^2 , du (da relação anterior):

Passo 6

Agora, temos a integral:
-integral u raiz1 + u^2 , du
Para resolver isso, podemos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
v = 1 + u^2 Rightarrow dv = 2u , du Rightarrow dv2 = u , du

Passo 7

Substituindo na integral:
-integral u raiz1 + u^2 , du = -integral raizv cdot dv2 = -12 integral v^1/2 , dv

Passo 8

Integrando -12 integral v^1/2 , dv = -12 cdot v^3/232 + C = -12 cdot 23 v^3/2 + C = -13 v^3/2 + C :

Passo 9

Voltando às variáveis originais. Lembramos que -13 v^3/2 + C = -13 (1 + cos^2(x))^3/2 + C e :

Resposta

A integral é igual a:
-13 (1 + cos^2(x))^3/2 + C
onde é a constante de integração.

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