Fazendo a mudança de variável adequada, resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo integral que envolve uma mudança de variável para simplificar a resolução. Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de substituição e entender como manipular expressões trigonométricas dentro de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a constante que está multiplicando a integral. O
pode ser colocado em evidência:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a integração. Observamos que dentro da raiz temos
. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Precisamos expressar toda a integral em termos de
. Olhando para , podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 5
Substituímos por
(da relação anterior):
Passo 6
Agora, temos a integral:
Para resolver isso, podemos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando
:
Passo 9
Voltando às variáveis originais. Lembramos que
e
:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
4.
4.
Resolva as integrais indefinidas.
Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
5.
(a)
5.
(a)
Calcule as integrais definidas: