Determine se r(t) possui parametrização lisa, isto é, se r'(t) é contínua e != 0.
2. r(t) = cos(t^2) * i + sen(t^2) * j + e^(-t) * k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se a função vetorial r(t) tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada de r(t), ou seja, r'(t), é contínua e nunca igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial r(t). A função dada é:
Para encontrar , derivamos cada componente em relação a r'(t).

Passo 3

Derivando a primeira componente, , usamos a regra da cadeia:
Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 4

Derivando a segunda componente, , também aplicamos a regra da cadeia:
Assim, a derivada da segunda componente é .

Passo 5

Por fim, derivamos a terceira componente, e^(-t):
Portanto, a derivada da terceira componente é .

Passo 6

Juntando todas as derivadas, temos:
Agora, precisamos verificar se essa derivada é contínua e nunca igual a zero.

Passo 7

Analisando a continuidade de r'(t): cada componente de r'(t) é uma função composta de funções contínuas (como exponenciais, senos e cossenos), multiplicadas por polinômios. Como a composição e multiplicação de funções contínuas são contínuas, concluímos que r'(t) é contínua para todo t.

Passo 8

Agora, vamos verificar se para todo t. Isso significa que nunca podemos ter todas as componentes iguais a zero simultaneamente. Observando as componentes:
A terceira componente, , nunca é zero. Portanto, para todo .

Resposta

Sim, a função vetorial r(t) possui parametrização lisa, já que r'(t) é contínua e nunca igual a zero.

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