Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
2.
2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se a função vetorial
tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada de
, ou seja,
, é contínua e nunca igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A função dada é:
Para encontrar
, derivamos cada componente em relação a
.
Passo 3
Derivando a primeira componente,
, usamos a regra da cadeia:
Então, a derivada da primeira componente é .
Passo 4
Derivando a segunda componente, , também aplicamos a regra da cadeia:
Assim, a derivada da segunda componente é
.
Passo 5
Por fim, derivamos a terceira componente,
:
Portanto, a derivada da terceira componente é
.
Passo 6
Juntando todas as derivadas, temos:
Agora, precisamos verificar se essa derivada é contínua e nunca igual a zero.
Passo 7
Analisando a continuidade de
: cada componente de
é uma função composta de funções contínuas (como exponenciais, senos e cossenos), multiplicadas por polinômios. Como a composição e multiplicação de funções contínuas são contínuas, concluímos que
é contínua para todo
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se
para todo
. Isso significa que nunca podemos ter todas as componentes iguais a zero simultaneamente. Observando as componentes:
A terceira componente,
, nunca é zero. Portanto,
para todo
.
Resposta
Sim, a função vetorial
possui parametrização lisa, já que
é contínua e nunca igual a zero.
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