Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .
2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se a função vetorial tem uma parametrização lisa. Isso significa que precisamos verificar se a derivada de , ou seja, , é contínua e nunca igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial . A função dada é:
Para encontrar , derivamos cada componente em relação a .

Passo 3

Derivando a primeira componente, , usamos a regra da cadeia:
Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 4

Derivando a segunda componente, , também aplicamos a regra da cadeia:
Assim, a derivada da segunda componente é .

Passo 5

Por fim, derivamos a terceira componente, :
Portanto, a derivada da terceira componente é .

Passo 6

Juntando todas as derivadas, temos:
Agora, precisamos verificar se essa derivada é contínua e nunca igual a zero.

Passo 7

Analisando a continuidade de : cada componente de é uma função composta de funções contínuas (como exponenciais, senos e cossenos), multiplicadas por polinômios. Como a composição e multiplicação de funções contínuas são contínuas, concluímos que é contínua para todo .

Passo 8

Agora, vamos verificar se para todo . Isso significa que nunca podemos ter todas as componentes iguais a zero simultaneamente. Observando as componentes:
A terceira componente, , nunca é zero. Portanto, para todo .

Resposta

Sim, a função vetorial possui parametrização lisa, já que é contínua e nunca igual a zero.

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