Nos exercícios 1 e 2 , encontre uma fórmula para a área A(x) das secções transversais do sólido perpendiculares ao eixo x.
2. O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x = 0 e x = 4. As secções transversais perpendiculares ao eixo x, entre esses planos, vão da parábola y = -raiz(x) à parábola y = raiz(x).
(d) As secções transversais são triângulos eqüiláteros com bases no plano x y.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar uma fórmula para a área das secções transversais de um sólido, que são triângulos equiláteros com bases no plano . O sólido está entre e , e as bases dos triângulos vão da parábola até . Vamos precisar usar conceitos de geometria sobre triângulos equiláteros e cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o comprimento da base do triângulo em cada ponto . As bases dos triângulos vão de até . Para achar o comprimento da base , calculamos a distância entre esses dois pontos:

Passo 3

Agora, sabemos que a base do triângulo é . Como os triângulos são equiláteros, todos os lados são iguais. Em um triângulo equilátero, a altura pode ser calculada usando a fórmula:
Mas, na verdade, para calcular a área de um triângulo equilátero, podemos usar diretamente uma fórmula que não precisa da altura:

Passo 4

Vamos substituir o valor da base na fórmula da área:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:

Resposta

A fórmula para a área das secções transversais é:

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