Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .
3.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você me passou. A gente precisa verificar se a função vetorial tem uma parametrização lisa. Isso significa que a derivada precisa ser contínua e diferente de zero para todo . Para isso, vamos calcular a derivada da função vetorial e verificar essas duas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A função dada é:
A derivada de cada componente é:
Passo 3
Vamos derivar cada parte separadamente:
Para :
Usamos a regra do produto: , onde e .
Para :
A derivada é direta:
Para :
Usamos a regra da cadeia: , onde .
Passo 4
Agora, juntando tudo, a derivada fica:
Passo 5
Vamos verificar a continuidade de . Cada componente de é uma combinação de funções contínuas:
é contínua para todo .
é um polinômio, portanto contínuo.
é contínuo.
Como todas as componentes são contínuas, é contínua para todo .
Passo 6
Agora, precisamos verificar se para todo . Ou seja, não pode haver nenhum valor de onde todas as componentes da derivada sejam iguais a zero simultaneamente.
Vamos resolver o sistema:
Como nunca é zero para nenhum , isso implica que , ou seja, .
Resolvendo: .
Isso acontece quando . Ou seja, , onde é inteiro, então .
Então, o único valor de que satisfaz todas as equações simultaneamente é .
Passo 7
No entanto, em :
Ou seja, em , a derivada é o vetor nulo.
Resposta
A função vetorial não possui parametrização lisa porque sua derivada é o vetor zero no ponto .