Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .
3.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você me passou. A gente precisa verificar se a função vetorial tem uma parametrização lisa. Isso significa que a derivada precisa ser contínua e diferente de zero para todo . Para isso, vamos calcular a derivada da função vetorial e verificar essas duas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A função dada é:
A derivada de cada componente é:

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente:
  1. Para :
Usamos a regra do produto: , onde e .
  1. Para :
A derivada é direta:
  1. Para :
Usamos a regra da cadeia: , onde .

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada fica:

Passo 5

Vamos verificar a continuidade de . Cada componente de é uma combinação de funções contínuas:
  • é contínua para todo .
  • é um polinômio, portanto contínuo.
  • é contínuo.
Como todas as componentes são contínuas, é contínua para todo .

Passo 6

Agora, precisamos verificar se para todo . Ou seja, não pode haver nenhum valor de onde todas as componentes da derivada sejam iguais a zero simultaneamente.
Vamos resolver o sistema:
Como nunca é zero para nenhum , isso implica que , ou seja, .
Resolvendo: .
Isso acontece quando . Ou seja, , onde é inteiro, então .
Então, o único valor de que satisfaz todas as equações simultaneamente é .

Passo 7

No entanto, em :
Ou seja, em , a derivada é o vetor nulo.

Resposta

A função vetorial não possui parametrização lisa porque sua derivada é o vetor zero no ponto .

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12.
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(b)