Encontre o comprimento de arco da curva r(t).
12. r(t)=t^2 i+(cos t+t sen t) j+(cos t-t sen t) k ; 0 <= t <= pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco em cálculo vetorial, que envolve derivar a função vetorial e integrar sua norma ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Vamos começar derivando a função vetorial r(t) = t^2 i + (cos t + t sin t) j + (cos t - t sin t) k em relação a r'(t) = ddt[t^2] i + ddt[cos t + t sin t] j + ddt[cos t - t sin t] k . A função dada é:
r'(t) = 2t i + (-sin t + sin t + t cos t) j + (-sin t - sin t - t cos t) k
A derivada de r'(t) = 2t i + t cos t j - (2 sin t + t cos t) k será:
Calculando cada componente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a norma da derivada |r'(t)| = raiz(2t)^2 + (t cos t)^2 + (-2 sin t - t cos t)^2 , que é dada por:
(2t)^2 = 4t^2
Vamos calcular cada termo dentro da raiz:
(t cos t)^2 = t^2 cos^2 t
(-2 sin t - t cos t)^2 = 4 sin^2 t + 4 t sin t cos t + t^2 cos^2 t
|r'(t)| = raiz4t^2 + t^2 cos^2 t + 4 sin^2 t + 4 t sin t cos t + t^2 cos^2 t
Somando todos os termos:
|r'(t)| = raiz4t^2 + 2 t^2 cos^2 t + 4 sin^2 t + 4 t sin t cos t
Simplificando:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos tentar simplificar a expressão sob a raiz. Observamos que:
2 t^2 cos^2 t + 4 t sin t cos t = 2 t^2 cos^2 t + 2 t sin (2t)
Então, a norma fica:
|r'(t)| = raiz4t^2 + 4 sin^2 t + 2 t^2 cos^2 t + 2 t sin (2t)
Essa expressão é complexa para integrar diretamente, mas notamos que a fórmula geral para o comprimento do arco é:
L = integrala^b |r'(t)| , dt
Portanto, nosso próximo passo é preparar essa integral para ser calculada.

Passo 5

Vamos configurar a integral para encontrar o comprimento do arco:
L = integral0^pi raiz4t^2 + 2 t^2 cos^2 t + 4 sin^2 t + 2 t sin (2t) , dt
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos ou softwares de cálculo para encontrar seu valor aproximado.

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é aproximadamente é.

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