Encontre o comprimento de arco da curva
.
12.
12.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco em cálculo vetorial, que envolve derivar a função vetorial e integrar sua norma ao longo do intervalo dado.
Passo 2
Vamos começar derivando a função vetorial
em relação a
. A função dada é:
A derivada de
será:
Calculando cada componente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a norma da derivada
, que é dada por:
Vamos calcular cada termo dentro da raiz:
Somando todos os termos:
Simplificando:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos tentar simplificar a expressão sob a raiz. Observamos que:
Então, a norma fica:
Essa expressão é complexa para integrar diretamente, mas notamos que a fórmula geral para o comprimento do arco é:
Portanto, nosso próximo passo é preparar essa integral para ser calculada.
Passo 5
Vamos configurar a integral para encontrar o comprimento do arco:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos ou softwares de cálculo para encontrar seu valor aproximado.
Resposta
O comprimento do arco da curva
no intervalo de
a
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
3.
3.
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(b)
(b)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(t)
(t)