Encontre o comprimento de arco da curva .
12.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco em cálculo vetorial, que envolve derivar a função vetorial e integrar sua norma ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Vamos começar derivando a função vetorial em relação a . A função dada é:
A derivada de será:
Calculando cada componente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a norma da derivada , que é dada por:
Vamos calcular cada termo dentro da raiz:
Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos tentar simplificar a expressão sob a raiz. Observamos que:
Então, a norma fica:
Essa expressão é complexa para integrar diretamente, mas notamos que a fórmula geral para o comprimento do arco é:
Portanto, nosso próximo passo é preparar essa integral para ser calculada.

Passo 5

Vamos configurar a integral para encontrar o comprimento do arco:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos ou softwares de cálculo para encontrar seu valor aproximado.

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é aproximadamente é.

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3.
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(b)
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(t)