Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Nossa equação
pode ser escrita como:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Isso porque:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.