Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(b) y' = 2y + e^x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem: .
Nossa equação pode ser escrita como:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com :
Isso porque:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para , multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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