Determine r(t), se r^prime(t)=(sin t, cos t, 2 t) e r(0)=(1,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a função vetorial dado que sua derivada é e que . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integração de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente de e usar a condição inicial para descobrir as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira componente de integral sin t , dt = -cos t + C1 , que é . A integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração para a primeira componente.

Passo 3

Agora, vamos integrar a segunda componente, que é integral cos t , dt = sin t + C2 . A integral de em relação a é:
é a constante de integração para a segunda componente.

Passo 4

Por fim, vamos integrar a terceira componente, que é integral 2t , dt = t^2 + C3 . A integral de em relação a é:
é a constante de integração para a terceira componente.

Passo 5

Com as integrais calculadas, podemos escrever a função r(t) = (-cos t + C1, sin t + C2, t^2 + C3) com as constantes de integração:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial -cos(0) + C1 = 1 implies -1 + C1 = 1 implies C1 = 2 para encontrar as constantes sin(0) + C2 = 1 implies 0 + C2 = 1 implies C2 = 1 , 0^2 + C3 = 2 implies C3 = 2 e .
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:

Passo 7

Finalmente, substituímos as constantes encontradas na expressão de r(t) = (-cos t + 2, sin t + 1, t^2 + 2) :

Resposta

r(t) = (-cos t + 2, sin t + 1, t^2 + 2)

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