Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
e) x^2+y^2+3 x-5 y+1=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática em e , e precisamos reescrevê-la na forma padrão de uma circunferência. Para isso, vamos completar o quadrado para as variáveis e . Se conseguirmos, a equação representará uma circunferência, e assim poderemos identificar o centro e o raio.

Passo 2

Vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de x^2 + 3x + y^2 -5y +1 = 0 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a variável x^2 + 3x + 94 - 94 . Observamos os termos (x + 32)^2 - 94 . Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Fazemos o mesmo para a variável y^2 -5y + 254 - 254 . Observamos os termos (y - 52)^2 - 254 . Completamos o quadrado adicionando e subtraindo :
Isso fica:

Passo 5

Substituímos essas expressões na equação original:
(x + 32)^2 - 94 + (y - 52)^2 - 254 +1 = 0

Passo 6

Agora, somamos as constantes:
-94 - 254 +1 = -344 +1 = -344 + 44 = -304 = -152
Então, a equação fica:
(x + 32)^2 + (y - 52)^2 - 152 = 0

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
(x + 32)^2 + (y - 52)^2 = 152

Passo 8

Agora, a equação está na forma padrão de uma circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde h = -32, k = 52, r^2 = 152 é o centro e é o raio.
Comparando, temos:

Passo 9

Calculamos o raio r = raiz152 = raiz302 :

Resposta

A equação representa uma circunferência com centro em e raio .

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