Determine o raio da base de uma lata de solvente cilíndrica, de volume 700 ml , de modo que o material gasto seja o menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o raio da base de uma lata cilíndrica que guarda 700 ml de solvente. A meta é usar a menor quantidade de material possível para fazer essa lata. Então, vamos trabalhar com geometria dos cilindros e otimização de função para minimizar a área da lata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar. O volume
de um cilindro é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura.
A área total
da lata, que é o material usado, inclui as duas bases circulares e a área lateral. A fórmula é:
Passo 3
Como sabemos que o volume
ml (que é igual a
cm³), podemos isolar a altura
na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área total para que a área
fique em função apenas de
:
Passo 5
Para encontrar o raio que minimiza a área
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar
:
Resposta
O raio da base que minimiza o material utilizado é aproximadamente 4,81 cm.
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