Determine o raio da base de uma lata de solvente cilíndrica, de volume 700 ml , de modo que o material gasto seja o menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o raio da base de uma lata cilíndrica que guarda 700 ml de solvente. A meta é usar a menor quantidade de material possível para fazer essa lata. Então, vamos trabalhar com geometria dos cilindros e otimização de função para minimizar a área da lata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar. O volume de um cilindro é dado por:
onde é o raio da base e é a altura.
A área total da lata, que é o material usado, inclui as duas bases circulares e a área lateral. A fórmula é:

Passo 3

Como sabemos que o volume ml (que é igual a cm³), podemos isolar a altura na fórmula do volume:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área total para que a área fique em função apenas de :

Passo 5

Para encontrar o raio que minimiza a área , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação :

Passo 7

Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar :

Resposta

O raio da base que minimiza o material utilizado é aproximadamente 4,81 cm.

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