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por derivação implícita:
Calcule
por derivação implícita para
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação onde
e
estão misturados de um jeito que a gente não consegue isolar o
facilmente. A matéria que vamos usar para resolver isso é derivação implícita. Basicamente, a derivação implícita é útil quando as variáveis estão todas juntas e não conseguimos separar uma da outra facilmente. Vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação a
para encontrar
(a derivada de
em relação a
).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Agora, para aplicar a derivação implícita, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
. Isso é mais simples:
Passo 5
Igualamos as duas derivadas que encontramos:
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Vamos distribuir os termos:
Perceba que
, então simplificamos:
Passo 7
Agora, vamos isolar os termos com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada
é dada por:
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