Encontre y' por derivação implícita:
Calcule y' por derivação implícita para y/x-y = x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação onde e estão misturados de um jeito que a gente não consegue isolar o facilmente. A matéria que vamos usar para resolver isso é derivação implícita. Basicamente, a derivação implícita é útil quando as variáveis estão todas juntas e não conseguimos separar uma da outra facilmente. Vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação a para encontrar (a derivada de em relação a ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Agora, para aplicar a derivação implícita, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é .
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito . Isso é mais simples:

Passo 5

Igualamos as duas derivadas que encontramos:
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Vamos distribuir os termos:
Perceba que , então simplificamos:

Passo 7

Agora, vamos isolar os termos com :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada é dada por:

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