Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
c) sumn=0^infty (-1)^n+1raiz3 i n z^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o raio de convergência da série:
sumn=0^infty (-1)^n+1raiz3 i , n z^n
Isso envolve Análise de Séries na matemática, mais especificamente, vamos usar Testes de Convergência para descobrir até onde a série “funciona” ou seja, para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouquinho a expressão da série. Observamos que:
an = (-1)^n+1raiz3 i , n
e estamos somando . Nosso objetivo é encontrar o raio tal que a série converge para .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de Raio de Convergência). Esse teste diz que:
R = limn to infty | anan+1 |
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 4

Calculando anan+1 = (-1)^n+1raiz3 i , n(-1)^(n+1)+1raiz3 i , (n+1) = (-1)^n+1(-1)^n+2 cdot n+1n = 1-1 cdot n+1n = -(1 + 1n) :
| anan+1 | = | -(1 + 1n) | = 1 + 1n
Agora, vamos tirar o valor absoluto:

Passo 5

Tomando o limite quando R = limn to infty (1 + 1n) = 1 + 0 = 1 tende ao infinito:

Resposta

O raio de convergência da série é 1.

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