Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(b) Se v for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformaçäo linear
tal que
.
(b) Se v for um vetor não nulo em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação (b) é verdadeira ou falsa. A afirmação diz: “Se
for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformação linear
tal que
.” Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se comporta com vetores negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
deve satisfazer duas propriedades:
-
para todos . -
para todo escalar e todo .
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura vetorial.
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição
. Vamos ver se isso é sempre verdade para qualquer transformação linear. Considerando a segunda propriedade da linearidade, temos:
Então, para qualquer transformação linear
, essa igualdade sempre vale. Isso significa que qualquer transformação linear satisfaz
.
Passo 4
A próxima parte da afirmação fala que existe “exatamente uma” transformação linear que satisfaz essa condição. Mas, como vimos no passo anterior, todas as transformações lineares já satisfazem
. Portanto, não é que existe uma única transformação linear com essa propriedade, mas sim que todas elas possuem essa propriedade.
Passo 5
Dessa forma, a afirmação está dizendo que existe “exatamente uma” transformação linear com essa característica, o que não é verdade. Na verdade, infinitas transformações lineares satisfazem
, já que qualquer transformação linear fará isso automaticamente.
Resposta
A afirmação é falsa. Existe mais de uma transformação linear
que satisfaz
.
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Encontre um vetor unitário que é ortogonal a ambos os vetores
e
, onde
é uma base ortonormal.
Duas matrizes
e
são semelhantes (notação:
) se existe uma matriz
inversível tal que
. Mostre que se
for uma matriz inversível e
, então
é também inversível.
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
c)
c)
Seja
tal que
. Mostre que
.