Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(b) Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente uma transformaçäo linear T: V W tal que T(-v)=-T(v).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação (b) é verdadeira ou falsa. A afirmação diz: “Se for um vetor não nulo em , então existe exatamente uma transformação linear tal que .” Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se comporta com vetores negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é uma transformação linear. Uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades:
  1. para todos .
  2. para todo escalar e todo .
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura vetorial.

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição T(-v) = T((-1) cdot v) = (-1) cdot T(v) = -T(v) . Vamos ver se isso é sempre verdade para qualquer transformação linear. Considerando a segunda propriedade da linearidade, temos:
Então, para qualquer transformação linear , essa igualdade sempre vale. Isso significa que qualquer transformação linear satisfaz .

Passo 4

A próxima parte da afirmação fala que existe “exatamente uma” transformação linear que satisfaz essa condição. Mas, como vimos no passo anterior, todas as transformações lineares já satisfazem . Portanto, não é que existe uma única transformação linear com essa propriedade, mas sim que todas elas possuem essa propriedade.

Passo 5

Dessa forma, a afirmação está dizendo que existe “exatamente uma” transformação linear com essa característica, o que não é verdade. Na verdade, infinitas transformações lineares satisfazem , já que qualquer transformação linear fará isso automaticamente.

Resposta

A afirmação é falsa. Existe mais de uma transformação linear que satisfaz .

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