Encontre um vetor unitário que é ortogonal a ambos os vetores e , onde é uma base ortonormal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a dois vetores dados: e . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra vetorial, como produto vetorial e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, vamos calcular o produto vetorial de e .
Passo 3
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
A times B = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 1)
A times B = i(1) - j(1) + k(-1)
A times B = i - j - k
Então, o vetor perpendicular é C = i - j - k.
Passo 4
Agora, precisamos transformar esse vetor C em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento (magnitude) igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude de C e depois dividir cada componente de C por essa magnitude.
A fórmula para a magnitude de um vetor V = ai + bj + ck é: