Encontre um vetor unitário que é ortogonal a ambos os vetores i+j e i+k, onde (i, j, k) é uma base ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a dois vetores dados: i+j e i+k. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra vetorial, como produto vetorial e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, vamos calcular o produto vetorial de A = i+j e B = i+k.

Passo 3

Vamos calcular A times B:
A times B = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Calculando o determinante:
A times B = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 1)
A times B = i(1) - j(1) + k(-1)
A times B = i - j - k
Então, o vetor perpendicular é C = i - j - k.

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor C em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento (magnitude) igual a 1. Para isso, vamos calcular a magnitude de C e depois dividir cada componente de C por essa magnitude.
A fórmula para a magnitude de um vetor V = ai + bj + ck é:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
Vamos aplicar isso a C = i - j - k:
|C| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 5

Agora, vamos dividir cada componente de C pela sua magnitude para obter o vetor unitário U:
U = C|C| = 1raiz3i - 1raiz3j - 1raiz3k
Podemos também escrever isso como:
U = 1raiz3 (i - j - k)

Resposta

O vetor unitário ortogonal a ambos os vetores i+j e i+k é:
U = 1raiz3,i - 1raiz3,j - 1raiz3,k

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