Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
d)
.
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas usando conceitos de álgebra linear:
- Se o conjunto
contém o vetor zero. - Se
é fechado sob adição. - Se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é o polinômio
, ou seja, todos os coeficientes são zero. Para que o vetor zero esteja em
, precisamos que o coeficiente de
seja maior ou igual a zero.
Aqui,
, e como
, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Verificando se
é fechado sob adição:
Para
ser fechado sob adição, se pegarmos dois polinômios quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos chamar dois polinômios em
de
e
, onde
e
.
A soma desses polinômios é:
O coeficiente de
na soma é
. Como
e
, a soma
também será maior ou igual a zero. Portanto,
está em
, o que significa que
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Para
ser fechado sob multiplicação por escalar, se pegarmos qualquer polinômio em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um polinômio
em
, onde
, e multiplicá-lo por um escalar
. O polinômio resultante é:
O coeficiente de
aqui é
. Para que
esteja em
, precisamos que
.
No entanto, se
for um número negativo e
, então
, o que não satisfaz a condição
para
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar,
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
. Mostre que
.
Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
c)
c)
Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
© Existe exatamente uma transformação linear tal que
, quaisquer que sejam os vetores i.e rent
.
© Existe exatamente uma transformação linear
Seja
, em que
. Mostre que
converge para
e que
. Conclua daí que
e que
. Esse resultado vale se
?