Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de P2(R).
d) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a2 >= 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, representa o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas usando conceitos de álgebra linear:
  1. Se o conjunto contém o vetor zero.
  2. Se é fechado sob adição.
  3. Se é fechado sob multiplicação por escalar.
    Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é o polinômio , ou seja, todos os coeficientes são zero. Para que o vetor zero esteja em , precisamos que o coeficiente de seja maior ou igual a zero.
Aqui, , e como , o vetor zero pertence a .

Passo 3

Verificando se p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 é fechado sob adição:
Para ser fechado sob adição, se pegarmos dois polinômios quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Vamos chamar dois polinômios em de e , onde e .
A soma desses polinômios é:
O coeficiente de na soma é . Como e , a soma também será maior ou igual a zero. Portanto, está em , o que significa que é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando se k cdot p(x) = (k a0) + (k a1)x + (k a2)x^2 é fechado sob multiplicação por escalar:
Para ser fechado sob multiplicação por escalar, se pegarmos qualquer polinômio em e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um polinômio em , onde , e multiplicá-lo por um escalar . O polinômio resultante é:
O coeficiente de aqui é . Para que esteja em , precisamos que .
No entanto, se for um número negativo e , então , o que não satisfaz a condição para . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de .

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