Seja
tal que
. Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
que é invertível, ou seja, seu determinante
não é zero. O objetivo é mostrar que o determinante da matriz inversa de
, denotada por
, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos determinantes e da matriz inversa.
Passo 2
Sabemos que uma matriz
é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero, ou seja,
. Isso nos garante que
existe.
Passo 3
Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matematicamente, isso é escrito como:
Vamos usar essa propriedade com a matriz
e sua inversa
.
Passo 4
Multiplicando a matriz
pela sua inversa
, obtemos a matriz identidade
, ou seja:
Aplicando a propriedade dos determinantes que mencionamos, temos:
Passo 5
Sabemos que o determinante da matriz identidade
é igual a 1. Portanto:
Agora, para encontrar
, basta isolar essa expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que
.