Seja An times n tal que det(A) neq 0. Mostre que det(A^-1)=1det(A).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma matriz quadrada A de ordem n times n que é invertível, ou seja, seu determinante det(A) não é zero. O objetivo é mostrar que o determinante da matriz inversa de A, denotada por A^-1, é igual a 1det(A). Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos determinantes e da matriz inversa.

Passo 2

Sabemos que uma matriz A é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero, ou seja, det(A) neq 0. Isso nos garante que A^-1 existe.

Passo 3

Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matematicamente, isso é escrito como:
det(A cdot B) = det(A) cdot det(B)
Vamos usar essa propriedade com a matriz A e sua inversa A^-1.

Passo 4

Multiplicando a matriz A pela sua inversa A^-1, obtemos a matriz identidade I, ou seja:
A cdot A^-1 = I
Aplicando a propriedade dos determinantes que mencionamos, temos:
det(A cdot A^-1) = det(I)
det(A) cdot det(A^-1) = det(I)

Passo 5

Sabemos que o determinante da matriz identidade I é igual a 1. Portanto:
det(A) cdot det(A^-1) = 1
Agora, para encontrar det(A^-1), basta isolar essa expressão:
det(A^-1) = 1det(A)

Resposta

Portanto, mostramos que det(A^-1) = 1det(A).

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