Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a) sumn=0^infty 11^n+2 in! z^n
b) sumn=0^infty 7 n(5+i)^n(z+2)^n
c) sumn=0^infty (-1)^n+1raiz3 i n z^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o raio de convergência de três séries diferentes. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente utilizando testes como o de razão ou raiz para encontrar até onde a série converge. Vamos precisar entender o que cada termo da série faz e aplicar um método adequado para encontrar esse raio.

Passo 2

Vamos começar pela primeira série:
sumn=0^infty 11^n+2in! z^n
Primeiro, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries de potências. Esse teste nos diz para calcular o limite do módulo do termo geral da série quando tende ao infinito.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = 11^(n+1)+2i(n+1)! z^n+1 cdot n!11^n+2i z^n = 11n+1 z .
Vamos simplificar:
limn to infty | 11 zn+1 | = 0
Então, o limite fica:

Passo 4

Como o limite é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=0^infty 7n(5+i)^n (z+2)^n
Aqui, também vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 6

Calculando o limite:
limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = 7(n+1)(5+i)^n+1 (z+2)^n+1 cdot (5+i)^n7n (z+2)^n = n+1n cdot z+25+i .
Simplificando:
Quando limn to infty | z+25+i | = |z+2||5+i| tende ao infinito, aproxima-se de 1. Então:

Passo 7

Queremos que esse limite seja menor que 1 para que a série convirja:
|z+2||5+i| < 1 Rightarrow |z+2| < |5+i|
Calculando |5+i| = raiz5^2 + 1^2 = raiz25 + 1 = raiz26 :
|z+2| < raiz26
Portanto:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 8

Finalmente, a terceira série:
sumn=0^infty (-1)^n+1raiz3i , n z^n
Vamos analisar o raio de convergência dessa série usando o Teste da Raiz, que é outro método eficiente para séries de potências.

Passo 9

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos:
limn to infty raiz[n]|an|
Onde raiz[n]|an| = raiz[n]1|raiz3i| , n |z|^n = |z|raiz[n]|raiz3i| , n .
Simplificando:
limn to infty raiz[n]|an| = |z|
Quando tende ao infinito, tende a 1, e também tende a 1. Então:

Passo 10

Para a série convergir, queremos que:
|z| < 1
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

a) O raio de convergência é infinito.
b) O raio de convergência é .
c) O raio de convergência é 1.

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