Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o raio de convergência de três séries diferentes. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente utilizando testes como o de razão ou raiz para encontrar até onde a série converge. Vamos precisar entender o que cada termo da série faz e aplicar um método adequado para encontrar esse raio.
Passo 2
Vamos começar pela primeira série:
Primeiro, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries de potências. Esse teste nos diz para calcular o limite do módulo do termo geral da série quando tende ao infinito.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Onde an+1an = 11^(n+1)+2i(n+1)! z^n+1 cdot n!11^n+2i z^n = 11n+1 z .
Vamos simplificar:
limn to infty | 11 zn+1 | = 0
Então, o limite fica:
Passo 4
Como o limite é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
sumn=0^infty 7n(5+i)^n (z+2)^n
Aqui, também vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.