Determine o raio de convergência de cada uma das séries sumn=1^infty z^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência da série . Isso tá dentro do conteúdo de Séries de Potência na matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é raio de convergência. Basicamente, é o valor tal que para , a série converge, e para , ela diverge. O teste que vamos usar envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para a série 1R = limn to infty | an+1an | , o raio de convergência an+1an = z^n+1n+1z^nn = z^n+1 cdot nz^n cdot (n+1) = z cdot nn+1 é dado por:
No nosso caso, . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | z cdot nn+1 | = limn to infty |z| cdot nn+1 = |z| cdot limn to infty nn+1 = |z| cdot 1 = |z| tende ao infinito:
1R = |z|
Então, temos:
R = 1|z|
Isso implica que:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, queremos que o limite seja menor que 1 para que a série converja. Portanto:
|z| < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Resposta

O raio de convergência da série é .

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