Determine o raio de convergência de cada uma das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência da série . Isso tá dentro do conteúdo de Séries de Potência na matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é raio de convergência. Basicamente, é o valor tal que para , a série converge, e para , ela diverge. O teste que vamos usar envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para a série , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, . Então, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | z cdot nn+1 | = limn to infty |z| cdot nn+1 = |z| cdot limn to infty nn+1 = |z| cdot 1 = |z| tende ao infinito:
1R = |z|
Então, temos:
R = 1|z|
Isso implica que:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, queremos que o limite seja menor que 1 para que a série converja. Portanto: