Determine o raio de convergência de cada uma das séries

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o raio de convergência da série . Isso tá dentro do conteúdo de Séries de Potência na matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é raio de convergência. Basicamente, é o valor tal que para , a série converge, e para , ela diverge. O teste que vamos usar envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para a série , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Então, temos:
Isso implica que:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, queremos que o limite seja menor que 1 para que a série converja. Portanto:
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Resposta

O raio de convergência da série é .

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