Determine o raio de convergência de cada uma das séries

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série infinita . Isso está ligado à matéria de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observa que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Podemos ignorar a constante para encontrar o raio de convergência, já que ela não afeta o comportamento da série.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito vai nos indicar o raio de convergência . A fórmula do Teste da Razão é:
Se o limite , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos definir o termo geral da nossa série sem a constante:
Agora, vamos calcular :
Agora, a razão fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da razão:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo para :

Passo 7

O resultado nos diz que a série converge para todos os que estão a uma distância menor que 4 do ponto no plano complexo. Portanto, o raio de convergência é 4.

Resposta

O raio de convergência da série é .

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