Determine o raio de convergência de cada uma das séries
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série infinita . Isso está ligado à matéria de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observa que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Podemos ignorar a constante para encontrar o raio de convergência, já que ela não afeta o comportamento da série.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito vai nos indicar o raio de convergência . A fórmula do Teste da Razão é:
Se o limite , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos definir o termo geral da nossa série sem a constante:
Agora, vamos calcular :
Agora, a razão fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da razão:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que , então:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo para :
Passo 7
O resultado nos diz que a série converge para todos os que estão a uma distância menor que 4 do ponto no plano complexo. Portanto, o raio de convergência é 4.