Determine o raio de convergência de cada uma das séries sumn=1^infty (z+2)^n-1(n+1)^3 cdot 4^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série infinita . Isso está ligado à matéria de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observa que sumn=1^infty (z+2)^n(n+1)^3 cdot 4^n cdot (z+2) pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Podemos ignorar a constante para encontrar o raio de convergência, já que ela não afeta o comportamento da série.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que o limite da razão entre o termo geral L = limn to infty | an+1an | e quando tende ao infinito vai nos indicar o raio de convergência . A fórmula do Teste da Razão é:
Se o limite , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos definir o termo geral da nossa série sem a constante:
an = (z+2)^n(n+1)^3 cdot 4^n
Agora, vamos calcular an+1 = (z+2)^n+1(n+2)^3 cdot 4^n+1 :
an+1an = (z+2)^n+1(n+2)^3 cdot 4^n+1 cdot (n+1)^3 cdot 4^n(z+2)^n = (z+2) cdot (n+1)^3(n+2)^3 cdot 4
Agora, a razão fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da razão:
an+1an = z+24 cdot ( n+1n+2 )^3
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | z+24 cdot ( n+1n+2 )^3 | tende ao infinito:
L = | z+24 |
Sabemos que , então:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que | z+24 | < 1 :
|z+2| < 4
Resolvendo para :

Passo 7

O resultado nos diz que a série converge para todos os que estão a uma distância menor que 4 do ponto no plano complexo. Portanto, o raio de convergência é 4.

Resposta

O raio de convergência da série é .

Exercícios relacionados