Determine se a sequência converge ou diverge (n i + 2)² / (n² i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência (n i + 2)² / (n² i) converge ou diverge. Vamos resolver isso usando conceitos de limites de sequências, que é uma parte da Análise de Sequências. Precisamos calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador . Para isso, usamos a fórmula do quadrado de um binômio:
Aplicando isso:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 3

Agora, substituímos de volta na expressão original da sequência:
Vamos dividir cada termo do numerador por para simplificar:

Passo 4

Agora, analisamos o limite de cada termo individualmente quando n tende ao infinito:
  1. : Esse termo não depende de n, então permanece como está.
  2. : Quando , esse termo tende a 0.
  3. : Também tende a 0 quando .
Portanto, o limite da sequência é apenas .

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que , então:

Resposta

A sequência (n i + 2)² / (n² i) converge e o seu limite é i.

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