Determine se a sequência converge ou diverge
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Vamos resolver isso usando conceitos de limites de sequências, que é uma parte da Análise de Sequências. Precisamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador
. Para isso, usamos a fórmula do quadrado de um binômio:
Aplicando isso:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 3
Agora, substituímos de volta na expressão original da sequência:
Vamos dividir cada termo do numerador por
para simplificar:
Passo 4
Agora, analisamos o limite de cada termo individualmente quando
tende ao infinito:
-
: Esse termo não depende de , então permanece como está. -
: Quando , esse termo tende a . -
: Também tende a quando .
Portanto, o limite da sequência é apenas
.
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.