Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência: f(z) = e^(-2 z)

Passo 1

Beleza! A questão pede para expandirmos a função em uma série de Maclaurin e também calcular o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da série de Maclaurin para a função exponencial e depois aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para a função exponencial . A série é dada por:
No nosso caso, temos . Isso significa que vamos substituir por na série:
Podemos simplificar isso um pouco mais:
Então, essa é a expansão em série de Maclaurin para .

Passo 3

Agora, vamos calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O teste da razão diz que, para uma série , o raio de convergência é dado por:
Aplicando isso à nossa série:
Calculamos a razão :
Tirando o valor absoluto:
Agora, tirando o limite quando tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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