Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que determinar o raio de convergência (ou domínio) da série de potências
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para verificar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a análise:
Aqui, fica claro que temos uma série geométrica, onde a razão da série é
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se, e somente se, o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja:
No nosso caso, a razão
é
, então para a série convergir, precisamos que:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o valor de
que satisfaz a condição de convergência:
Isso significa que a série converge quando o valor absoluto de
é menor que
.
Passo 5
O raio de convergência
é o limite desse intervalo, ou seja, o valor multiplicador de
na desigualdade
. Observando a desigualdade que encontramos:
Podemos concluir que:
Resposta
O raio de convergência da série
é
.
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Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.