Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
sumk=0^infty 2^k x^k

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que determinar o raio de convergência (ou domínio) da série de potências . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para verificar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a análise:
sumk=0^infty 2^k x^k = sumk=0^infty (2x)^k
Aqui, fica claro que temos uma série geométrica, onde a razão da série é .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica da forma |r| < 1 converge se, e somente se, o valor absoluto da razão |2x| < 1 for menor que 1, ou seja:
No nosso caso, a razão é , então para a série convergir, precisamos que:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o valor de |2x| < 1 Rightarrow |x| < 12 que satisfaz a condição de convergência:
Isso significa que a série converge quando o valor absoluto de é menor que .

Passo 5

O raio de convergência |x| < 12 é o limite desse intervalo, ou seja, o valor multiplicador de R = 12 na desigualdade . Observando a desigualdade que encontramos:
Podemos concluir que:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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