Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
sumk=0^infty k2^k x^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência da série de potências sumk=0^infty k2^k x^k. Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma sum ak x^k, o raio de convergência R pode ser encontrado usando:
1R = limk to infty | ak+1ak |
No nosso caso, ak = k2^k. Então, vamos calcular a razão ak+1ak.

Passo 3

Vamos calcular ak+1ak:
ak+1ak = k+12^k+1k2^k = k+12^k+1 cdot 2^kk = k+12k

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa razão quando k vai para o infinito:
limk to infty k+12k = limk to infty k2k + 12k = 12 + 0 = 12

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, temos que:
1R = 12 implies R = 2

Resposta

O raio de convergência da série sumk=0^infty k2^k x^k é 2.

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