Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=2^infty(-1)^k k^3k^4+3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: sumk=2^infty(-1)^k k^3k^4+3. O objetivo é determinar se essa série converge ou não, ou seja, se a soma dela tem um valor definido ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a verificar a convergência de séries que têm termos que alternam sinais positivos e negativos.

Passo 2

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^k ak converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos ak forem positivos.
  2. A sequência ak for decrescente e tiver limite zero quando k tende ao infinito.
No nosso caso, ak = k^3k^4+3. Primeiro, vamos verificar se ak é positivo.

Passo 3

Observando a expressão k^3k^4+3:
  • O numerador k^3 é positivo para k >= 2.
  • O denominador k^4+3 também é positivo para qualquer k.
    Portanto, ak é positivo para todo k >= 2.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a sequência ak é decrescente e se o limite dela é zero quando k tende ao infinito.
Primeiro, vamos calcular o limite:
Então, o limite de limk to infty k^3k^4+3 = limk to infty 1k + 3k^3 = 0 é zero.

Passo 5

Em seguida, vamos verificar se ak é decrescente. Para isso, analisamos se ak+1 < ak:
(k+1)^3(k+1)^4+3 < k^3k^4+3
Analisando, vemos que conforme k aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que ak diminua. Portanto, ak é uma sequência decrescente.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série sumk=2^infty(-1)^k k^3k^4+3 converge.

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