Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
. O objetivo é determinar se essa série converge ou não, ou seja, se a soma dela tem um valor definido ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a verificar a convergência de séries que têm termos que alternam sinais positivos e negativos.
Passo 2
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
forem positivos. - A sequência
for decrescente e tiver limite zero quando tende ao infinito.
No nosso caso,
. Primeiro, vamos verificar se
é positivo.
Passo 3
Observando a expressão
:
- O numerador
é positivo para . - O denominador
também é positivo para qualquer .
Portanto,é positivo para todo .
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a sequência
é decrescente e se o limite dela é zero quando
tende ao infinito.
Primeiro, vamos calcular o limite:
Então, o limite de
é zero.
Passo 5
Em seguida, vamos verificar se
é decrescente. Para isso, analisamos se
:
Analisando, vemos que conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que
diminua. Portanto,
é uma sequência decrescente.
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série
converge.