Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos determinar se essa série converge ou não converge. Para resolver isso, vamos utilizar o Critério da Razão, que é uma ferramenta útil para analisar a convergência de séries envolvendo termos com fator exponencial.

Passo 2

O Critério da Razão nos diz que, para uma série , se calcularmos o limite:
e:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos . Agora, vamos calcular :
Agora, calculamos a razão :
Simplificando:
Agora, calculamos o limite conforme tende ao infinito:
Expande-se :
Substituindo de volta:
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

Como , a série converge.

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Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .
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