Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=0^infty(k^3+1) exp (-k)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos determinar se essa série converge ou não converge. Para resolver isso, vamos utilizar o Critério da Razão, que é uma ferramenta útil para analisar a convergência de séries envolvendo termos com fator exponencial.

Passo 2

O Critério da Razão nos diz que, para uma série L = limk to infty | ak+1ak | , se calcularmos o limite:
e:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos ak+1 = ((k+1)^3+1) e^-(k+1) . Agora, vamos calcular ak+1ak = (k+1)^3+1k^3+1 cdot e^-1 :
ak+1ak = (k+1)^3+1k^3+1 cdot 1e
Agora, calculamos a razão L = limk to infty (k+1)^3+1k^3+1 cdot 1e :
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
Simplificando:
L = limk to infty k^3 + 3k^2 + 3k + 2k^3+1 cdot 1e
Agora, calculamos o limite conforme L = limk to infty 1 + 3k + 3k^2 + 2k^31 + 1k^3 cdot 1e = 1e tende ao infinito:
Expande-se :
Substituindo de volta:
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

Como , a série converge.

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