Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série
converge ou não. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente utilizando critérios de comparação para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Note que
é a raiz k-ésima de k, que sabemos que quando k aumenta,
tende a 1. Então, para valores grandes de k, o denominador
se comporta aproximadamente como
, que é semelhante a
.
Passo 3
Com isso em mente, vamos comparar nossa série com a série harmônica
, que sabemos que diverge. Para isso, usamos o Teste de Comparação. Precisamos verificar se
para algum C positivo e para k suficientemente grande.
Passo 4
Observando que
para todo k ≥ 1, temos:
Sabemos que
também diverge, pois é apenas a série harmônica começando de k=2.
Passo 5
Como os termos da nossa série original são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente, pelo Teste de Comparação, nossa série
também diverge.
Resposta
A série
não converge, ou seja, diverge.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.