Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série converge ou não. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente utilizando critérios de comparação para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Note que é a raiz k-ésima de k, que sabemos que quando k aumenta, tende a 1. Então, para valores grandes de k, o denominador se comporta aproximadamente como , que é semelhante a .

Passo 3

Com isso em mente, vamos comparar nossa série com a série harmônica , que sabemos que diverge. Para isso, usamos o Teste de Comparação. Precisamos verificar se para algum C positivo e para k suficientemente grande.

Passo 4

Observando que para todo k ≥ 1, temos:
Sabemos que também diverge, pois é apenas a série harmônica começando de k=2.

Passo 5

Como os termos da nossa série original são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente, pelo Teste de Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série não converge, ou seja, diverge.

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