Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
sumk=1^infty (-1)^k k^2(x+2)^k3^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática para determinar até onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz em que intervalo em torno de um ponto a série vai somar para um valor finito. No nosso caso, temos a série centrada em , então queremos saber até que ponto mais ou menos isso a série vai “funcionar”.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se a gente calcular o limite da razão entre o termo L = limk to infty | ak+1ak | e o termo em módulo, e esse limite for menor que 1, a série converge. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos identificar os termos ak = (-1)^k k^2(x+2)^k3^k e ak+1 = (-1)^k+1 (k+1)^2(x+2)^k+13^k+1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão ak+1ak = (-1)^k+1 (k+1)^2 (x+2)^k+1 / 3^k+1(-1)^k k^2 (x+2)^k / 3^k :
Simplificando essa expressão:
ak+1ak = (-1) cdot (k+1)^2k^2 cdot (x+2)3

Passo 6

Como estamos trabalhando com o módulo, o | ak+1ak | = (k+1)^2k^2 cdot |x+2|3 vai sair do módulo:

Passo 7

Vamos calcular o limite quando L = limk to infty (k+1)^2k^2 cdot |x+2|3 tende ao infinito:
L = 1 cdot |x+2|3 = |x+2|3
Observando que , quando vai para o infinito, essa fração tende a 1:

Passo 8

Para a série convergir, precisamos que |x+2|3 < 1 :
|x+2| < 3
Multiplicando ambos os lados por 3:

Passo 9

A desigualdade -5 < x < 1 nos diz que está a uma distância menor que 3 de . Isso significa que a série converge quando:

Resposta

O raio de convergência da série é 3.

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