Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática para determinar até onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz em que intervalo em torno de um ponto a série vai somar para um valor finito. No nosso caso, temos a série centrada em , então queremos saber até que ponto mais ou menos isso a série vai “funcionar”.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se a gente calcular o limite da razão entre o termo e o termo em módulo, e esse limite for menor que 1, a série converge. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos identificar os termos e :

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando essa expressão:

Passo 6

Como estamos trabalhando com o módulo, o vai sair do módulo:

Passo 7

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando que , quando vai para o infinito, essa fração tende a 1:

Passo 8

Para a série convergir, precisamos que :
Multiplicando ambos os lados por 3:

Passo 9

A desigualdade nos diz que está a uma distância menor que 3 de . Isso significa que a série converge quando:

Resposta

O raio de convergência da série é 3.

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