Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática para determinar até onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz em que intervalo em torno de um ponto a série vai somar para um valor finito. No nosso caso, temos a série centrada em , então queremos saber até que ponto mais ou menos isso a série vai “funcionar”.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se a gente calcular o limite da razão entre o termo e o termo em módulo, e esse limite for menor que 1, a série converge. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos identificar os termos ak = (-1)^k k^2(x+2)^k3^k e ak+1 = (-1)^k+1 (k+1)^2(x+2)^k+13^k+1 :