Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática para determinar até onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Ele nos diz em que intervalo em torno de um ponto a série vai somar para um valor finito. No nosso caso, temos a série centrada em , então queremos saber até que ponto mais ou menos isso a série vai “funcionar”.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se a gente calcular o limite da razão entre o termo e o termo em módulo, e esse limite for menor que 1, a série converge. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos identificar os termos e :
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando essa expressão:
Passo 6
Como estamos trabalhando com o módulo, o vai sair do módulo:
Passo 7
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando que , quando vai para o infinito, essa fração tende a 1:
Passo 8
Para a série convergir, precisamos que :
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 9
A desigualdade nos diz que está a uma distância menor que 3 de . Isso significa que a série converge quando: