Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série de potências . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática, especificamente em como identificar até onde a série “funciona” ou converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: . Aqui, cada termo da série é . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento dos termos da série quando tende ao infinito. A ideia é ver o limite do valor absoluto da razão entre o termo geral e o termo , ou seja:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão para nossa série:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Como e , pelo Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito. Isso significa que a série converge para todos os números reais .

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Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .
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Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo: