Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série de potências . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matemática, especificamente em como identificar até onde a série “funciona” ou converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos: . Aqui, cada termo da série é . Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento dos termos da série quando tende ao infinito. A ideia é ver o limite do valor absoluto da razão entre o termo geral e o termo , ou seja:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular essa razão para nossa série:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Como e , pelo Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O raio de convergência da série é infinito. Isso significa que a série converge para todos os números reais .