Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou não. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver, vamos precisar usar o Critério das Séries Alternadas e também verificar a convergência absoluta da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, como temos aqui com . O Critério das Séries Alternadas nos ajuda a determinar a convergência dessas séries verificando duas condições:
  1. Os termos em valor absoluto devem ser decrescentes.
  2. O limite dos termos, quando tende ao infinito, deve ser zero.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se os termos estão realmente diminuindo conforme aumenta.
Para isso, podemos observar que tanto quanto aumentam quando cresce, mas cresce mais rapidamente que . Assim, diminui à medida que aumenta.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite dos termos deve ser zero.
Calculamos:
Sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de , então:
Portanto, ambas as condições do Critério das Séries Alternadas são atendidas.

Passo 5

Apesar de a série alternada convergir pelo critério mencionado, é importante verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se a série dos valores absolutos:
converge.
Para isso, podemos usar o Teste da Integral. Consideramos a integral:
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Ao avaliar o limite quando tende ao infinito:
Isso mostra que a integral diverge, então a série dos valores absolutos também diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, mas a série alternada original atende ao Critério das Séries Alternadas, conclui-se que a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo: