Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou não. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver, vamos precisar usar o Critério das Séries Alternadas e também verificar a convergência absoluta da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, como temos aqui com
. O Critério das Séries Alternadas nos ajuda a determinar a convergência dessas séries verificando duas condições:
- Os termos em valor absoluto
devem ser decrescentes. - O limite dos termos, quando
tende ao infinito, deve ser zero.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se os termos
estão realmente diminuindo conforme
aumenta.
Para isso, podemos observar que tanto
quanto
aumentam quando
cresce, mas
cresce mais rapidamente que
. Assim,
diminui à medida que
aumenta.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite dos termos deve ser zero.
Calculamos:
Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, então:
Portanto, ambas as condições do Critério das Séries Alternadas são atendidas.
Passo 5
Apesar de a série alternada convergir pelo critério mencionado, é importante verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se a série dos valores absolutos:
converge.
Para isso, podemos usar o Teste da Integral. Consideramos a integral:
Fazendo a substituição
,
, a integral se torna:
Ao avaliar o limite quando
tende ao infinito:
Isso mostra que a integral diverge, então a série dos valores absolutos também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, mas a série alternada original atende ao Critério das Séries Alternadas, conclui-se que a série converge condicionalmente.
Resposta
A série
converge condicionalmente.
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