Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=1^infty raizk+1-raizk

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra determinar se a série converge ou não. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos critérios de convergência que aprendemos. Vamos precisar entender como as séries funcionam e aplicar um teste que ajude a gente a descobrir se essa série chega a um valor específico ou se diverge, ou seja, vai pra infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: . Uma estratégia legal aqui é somar esses termos até um certo ponto e ver o que acontece quando cresce. Isso é o que chamamos de soma parcial.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial Sn = sumk=1^n (raizk+1 - raizk) :
Sn = (raiz2 - raiz1) + (raiz3 - raiz2) + dots + (raizn+1 - raizn)
Se expandirmos essa soma, vemos que muitos termos vão se cancelar:

Passo 4

Observamos que praticamente todo mundo se cancela, restando apenas:
Sn = raizn+1 - raiz1 = raizn+1 - 1

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa soma parcial quando limn to infty Sn = limn to infty (raizn+1 - 1) tende ao infinito:
limn to infty (raizn+1 - 1) = infty
Como cresce sem limite quando aumenta, o limite também vai pra infinito:

Resposta

A série não converge, ou seja, ela diverge para infinito.

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