Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra determinar se a série
converge ou não. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos critérios de convergência que aprendemos. Vamos precisar entender como as séries funcionam e aplicar um teste que ajude a gente a descobrir se essa série chega a um valor específico ou se diverge, ou seja, vai pra infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
. Uma estratégia legal aqui é somar esses termos até um certo ponto
e ver o que acontece quando
cresce. Isso é o que chamamos de soma parcial.
Passo 3
Vamos calcular a soma parcial
:
Se expandirmos essa soma, vemos que muitos termos vão se cancelar:
Passo 4
Observamos que praticamente todo mundo se cancela, restando apenas:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa soma parcial quando
tende ao infinito:
Como
cresce sem limite quando
aumenta, o limite também vai pra infinito:
Resposta
A série
não converge, ou seja, ela diverge para infinito.
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Determine o raio de convergência (domínio) das séries de potências abaixo:
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