Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=0^infty k+11+k^4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente determine se a série infinita converge ou não. Para isso, vamos usar um critério de convergência de séries, que é uma ferramenta da matemática para verificar esse tipo de problema.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos escolher o critério de convergência apropriado. Observando a série, notamos que o termo geral é . Quando fica muito grande, o comportamento da série é parecido com . Então, vamos comparar nossa série com a série p, que é da forma .

Passo 3

A série p, , converge se e diverge se . No nosso caso, como a nossa série se comporta como para valores grandes de , temos que , que é maior que 1. Isso sugere que nossa série pode convergir.

Passo 4

Para confirmar, vamos usar o Teste da Comparação. Comparamos k+11+k^4 <= 2kk^4 = 2k^3 com . Observamos que:
para . Como é uma série p com que converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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