Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado ^1.
sumk=3^infty k^2+5k^2(ln k)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou não. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Critério de Comparação, que ajuda a comparar a série em questão com uma série conhecida para decidir sobre a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
k^2 + 5k^2 (ln k)^3 = 1 + 5k^2(ln k)^3
À medida que cresce, se torna bem pequeno, então o termo se aproxima de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma série com a qual possamos comparar. Sabemos que as séries do tipo convergem se (série p) e divergem se . No nosso caso, o denominador envolve , que cresce mais devagar que qualquer potência positiva de .

Passo 4

Vamos comparar 1(ln k)^3 > 1k^p com . Para todo , existe um grande o suficiente tal que . Isso significa que:
Escolhendo , temos que para grande.

Passo 5

Sabemos que a série harmônica diverge. Como é maior que para grandes valores de , pelo Critério de Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série não converge; ela diverge.

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