Determine se as séries abaixo convergem ou não convergem. Use o critério apropriado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou não. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Critério de Comparação, que ajuda a comparar a série em questão com uma série conhecida para decidir sobre a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
À medida que
cresce,
se torna bem pequeno, então o termo se aproxima de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma série com a qual possamos comparar. Sabemos que as séries do tipo
convergem se
(série p) e divergem se
. No nosso caso, o denominador envolve
, que cresce mais devagar que qualquer potência positiva de
.
Passo 4
Vamos comparar
com
. Para todo
, existe um
grande o suficiente tal que
. Isso significa que:
Escolhendo
, temos que
para
grande.
Passo 5
Sabemos que a série harmônica
diverge. Como
é maior que
para grandes valores de
, pelo Critério de Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.
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