Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
а) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão (ou Ratio Test) para determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até onde, em termos de distância do centro da série (neste caso, ), a série converge. Ou seja, para valores de dentro desse raio, a série vai somar de forma finita.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Então,
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Vamos analisar cada parte do limite:
  1. : Conforme cresce, essa fração tende a 1.
  2. : Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que para grande, então essa fração também tende a 1.
Portanto,

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso nos dá:

Passo 8

O raio de convergência é a distância do centro aos pontos onde a série converge. Como a desigualdade é , o raio de convergência é:

Passo 9

Agora, vamos verificar a convergência nos pontos finais e .
Para :
Essa é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Alternância:
  • Os termos são decrescentes e tendem a zero.
  • Portanto, a série converge.
Para :
Essa série é positiva e podemos comparar com , que diverge. Usando o Teste da Integral, sabemos que também diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
ј) .
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
b) ;