Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
а) sumn=2^infty (x-4)^nn ln n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=2^infty (x-4)^nn ln n
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão (ou Ratio Test) para determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até onde, em termos de distância do centro da série (neste caso, ), a série converge. Ou seja, para valores de dentro desse raio, a série vai somar de forma finita.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos.
A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an = (x-4)^nn ln n :
an+1 = (x-4)^n+1(n+1) ln (n+1)
Então,
| an+1an | = | (x-4)^n+1(n+1) ln (n+1) cdot n ln n(x-4)^n | = | (x-4) cdot n ln n(n+1) ln (n+1) |
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Simplificando a expressão:
| an+1an | = |x - 4| cdot nn+1 cdot ln nln (n+1)
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x - 4| cdot nn+1 cdot ln nln (n+1) tende ao infinito:

Passo 6

Vamos analisar cada parte do limite:
  1. L = |x - 4| cdot 1 cdot 1 = |x - 4| : Conforme cresce, essa fração tende a 1.
  2. : Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que para grande, então essa fração também tende a 1.
Portanto,

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x - 4| < 1 :
-1 < x - 4 < 1 Rightarrow 3 < x < 5
Isso nos dá:

Passo 8

O raio de convergência R = 1 é a distância do centro aos pontos onde a série converge. Como a desigualdade é , o raio de convergência é:

Passo 9

Agora, vamos verificar a convergência nos pontos finais sumn=2^infty (3-4)^nn ln n = sumn=2^infty (-1)^nn ln n e sumn=2^infty (5-4)^nn ln n = sumn=2^infty 1n ln n .
Para :
Essa é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Alternância:
  • Os termos são decrescentes e tendem a zero.
  • Portanto, a série converge.
Para :
Essa série é positiva e podemos comparar com , que diverge. Usando o Teste da Integral, sabemos que também diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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