Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
а) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão (ou Ratio Test) para determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até onde, em termos de distância do centro da série (neste caso, ), a série converge. Ou seja, para valores de dentro desse raio, a série vai somar de forma finita.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Então,
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Vamos analisar cada parte do limite:
: Conforme cresce, essa fração tende a 1.
: Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que para grande, então essa fração também tende a 1.
Portanto,
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso nos dá:
Passo 8
O raio de convergência é a distância do centro aos pontos onde a série converge. Como a desigualdade é , o raio de convergência é:
Passo 9
Agora, vamos verificar a convergência nos pontos finais e .
Para :
Essa é uma série alternada. Vamos usar o Teste da Alternância:
Os termos são decrescentes e tendem a zero.
Portanto, a série converge.
Para :
Essa série é positiva e podemos comparar com , que diverge. Usando o Teste da Integral, sabemos que também diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .