Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos:
O Teste da Razão diz que, para encontrar o raio de convergência, calculamos:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos calcular a razão
an+1an = (2x)^n+12(n+1)^2 + 1(2x)^n2n^2 + 1 = (2x)^n+12(n+1)^2 + 1 cdot 2n^2 + 1(2x)^n :
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty | 2x cdot 2n^2 + 12(n+1)^2 + 1 | vai para o infinito:
Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Então, o limite
fica:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que
|2x| < 1 :
Resolvendo para
R = 12 :
Isso nos dá o raio de convergência:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência testando os extremos
sumn=1^infty (2 cdot 12)^n2n^2 + 1 = sumn=1^infty 1^n2n^2 + 1 = sumn=1^infty 12n^2 + 1 e
sumn=1^infty (2 cdot -12)^n2n^2 + 1 = sumn=1^infty (-1)^n2n^2 + 1 .
Para
:
Essa série converge porque é uma série
com
.
Para
:
Essa também converge porque é uma série alternada onde os termos
diminuem e tendem a zero.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.