Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
b) sumn=1^infty (2 x)^n2 n^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (2 x)^n2 n^2+1
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos:
an = (2x)^n2n^2 + 1
O Teste da Razão diz que, para encontrar o raio de convergência, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = (2x)^n+12(n+1)^2 + 1(2x)^n2n^2 + 1 = (2x)^n+12(n+1)^2 + 1 cdot 2n^2 + 1(2x)^n :
an+1an = 2x cdot 2n^2 + 12(n+1)^2 + 1
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | 2x cdot 2n^2 + 12(n+1)^2 + 1 | vai para o infinito:
2n^2 + 12(n+1)^2 + 1 approx 2n^22n^2 = 1 quando n to infty
Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
L = |2x|
Então, o limite fica:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |2x| < 1 :
|x| < 12
Resolvendo para R = 12 :
Isso nos dá o raio de convergência:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência testando os extremos sumn=1^infty (2 cdot 12)^n2n^2 + 1 = sumn=1^infty 1^n2n^2 + 1 = sumn=1^infty 12n^2 + 1 e sumn=1^infty (2 cdot -12)^n2n^2 + 1 = sumn=1^infty (-1)^n2n^2 + 1 .
Para :
Essa série converge porque é uma série com .
Para :
Essa também converge porque é uma série alternada onde os termos diminuem e tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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