Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
b) ;

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos:
O Teste da Razão diz que, para encontrar o raio de convergência, calculamos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão :
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando vai para o infinito:
Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Então, o limite fica:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo para :
Isso nos dá o raio de convergência:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência testando os extremos e .
Para :
Essa série converge porque é uma série com .
Para :
Essa também converge porque é uma série alternada onde os termos diminuem e tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
а) ;
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) .