integral-3^4|x+2| d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Esse problema envolve o cálculo de áreas sob a curva de uma função módulo, ou seja, . Para resolver, vamos precisar do conceito de funções módulo e de integração definida.

Passo 2

A função é igual a quando e igual a quando . Para encontrar onde a expressão dentro do módulo muda de sinal, resolvemos , o que dá . Portanto, a função tem um ponto de mudança em .

Passo 3

Como estamos integrando de a , que inclui o ponto , precisamos dividir a integral em duas partes: de a , onde , e de a , onde .

Passo 4

Vamos reescrever a integral dividida:
integral-3^4 |x + 2| , dx = integral-3^-2 -(x + 2) , dx + integral-2^4 (x + 2) , dx

Passo 5

Agora, calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
integral-3^-2 -(x + 2) , dx = integral-3^-2 (-x - 2) , dx = [ -x^22 - 2x ]-3^-2
Calculando nos limites:
Em -(-2)^22 - 2(-2) = -42 + 4 = -2 + 4 = 2 :
-(-3)^22 - 2(-3) = -92 + 6 = -4.5 + 6 = 1.5
Em :
Portanto, a primeira parte é .

Passo 6

Segunda parte:
integral-2^4 (x + 2) , dx = [ x^22 + 2x ]-2^4
Calculando nos limites:
Em 4^22 + 2(4) = 162 + 8 = 8 + 8 = 16 :
(-2)^22 + 2(-2) = 42 - 4 = 2 - 4 = -2
Em :
Portanto, a segunda parte é .

Resposta

Somando as duas partes, integral-3^4 |x + 2| , dx = 18.5 . Então,

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