Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Esse problema envolve o cálculo de áreas sob a curva de uma função módulo, ou seja,
. Para resolver, vamos precisar do conceito de funções módulo e de integração definida.
Passo 2
A função
é igual a
quando
e igual a
quando
. Para encontrar onde a expressão dentro do módulo muda de sinal, resolvemos
, o que dá
. Portanto, a função
tem um ponto de mudança em
.
Passo 3
Como estamos integrando de
a
, que inclui o ponto
, precisamos dividir a integral em duas partes: de
a
, onde
, e de
a
, onde
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral dividida:
Passo 5
Agora, calculamos cada integral separadamente.
Primeira parte:
Calculando nos limites:
Em
:
Em
:
Portanto, a primeira parte é
.
Passo 6
Segunda parte:
Calculando nos limites:
Em
:
Em
:
Portanto, a segunda parte é
.
Resposta
Somando as duas partes,
. Então,