Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo . Sabemos que podemos usar a identidade de potência para seno:
Isso ajuda a tornar a integração mais fácil, pois transformamos um termo ao quadrado em termos de funções de primeira potência.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
Vamos distribuir o :

Passo 4

Agora, vamos combinar os termos constantes:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em partes individuais para facilitar a resolução:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para , a integral é .
  2. Para , usamos a substituição , então a integral fica .
  3. Para , a integral é .

Passo 7

Aplicando os limites de integração de a :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral definida é .

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
b) ;
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
а) ;
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) .