integralpi^2 pi(sen^2 x-4 sen x+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de integralpi^2 pi(sin^2 x - 4 sin x + 4) dx. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo sin^2 x. Sabemos que podemos usar a identidade de potência para seno:
sin^2 x = 1 - cos(2x)2
Isso ajuda a tornar a integração mais fácil, pois transformamos um termo ao quadrado em termos de funções de primeira potência.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integralpi^2 pi(1 - cos(2x)2 - 4 sin x + 4) dx
Vamos distribuir o 12:
integralpi^2 pi(12 - cos(2x)2 - 4 sin x + 4) dx

Passo 4

Agora, vamos combinar os termos constantes:
12 + 4 = 92
Então, a integral fica:
integralpi^2 pi(92 - cos(2x)2 - 4 sin x) dx

Passo 5

Vamos separar a integral em partes individuais para facilitar a resolução:
integralpi^2 pi 92 dx - integralpi^2 pi cos(2x)2 dx - integralpi^2 pi 4 sin x dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para integral 92 dx, a integral é 92 x.
  2. Para integral cos(2x)2 dx, usamos a substituição u = 2x, então a integral fica 14 sin(2x).
  3. Para integral 4 sin x dx, a integral é -4 cos x.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de pi a 2pi:
  1. 92 x |pi^2pi = 92(2pi) - 92(pi) = 9pi - 92pi = 9pi2
  2. 14 sin(2x) |pi^2pi = 14[sin(4pi) - sin(2pi)] = 14(0 - 0) = 0
  3. -4 cos x |pi^2pi = -4[cos(2pi) - cos(pi)] = -4[1 - (-1)] = -4(2) = -8

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:
9pi2 + 0 - 8 = 9pi2 - 8

Resposta

O valor da integral definida é 9pi2 - 8.

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