Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
ј) sumn=0^infty (n+1)!(2 n)!.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe:
Enunciado: Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
sumn=0^infty (n+1)!(2n)!
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert) para determinar se a série converge ou diverge.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Entendendo o Teste da Razão:
O Teste da Razão funciona assim: para uma série , calculamos o limite quando tende ao infinito da razão .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificando an = (n+1)!(2n)! e an+1 = (n+2)!(2(n+1))! = (n+2)!(2n+2)! :
Para a nossa série:
Então, o próximo termo seria:

Passo 4

Calculando a razão an+1an = (n+2)!(2n+2)!(n+1)!(2n)! = (n+2)! cdot (2n)!(n+1)! cdot (2n+2)! :
Vamos montar a razão:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Vamos simplificar os fatoriais:
(n+2)! = (n+2)(n+1)!
(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!
Substituindo na razão:
an+1an = (n+2)(n+1)! cdot (2n)!(n+1)! cdot (2n+2)(2n+1)(2n)!
Cancelando an+1an = n+2(2n+2)(2n+1) e :

Passo 6

Simplificando ainda mais:
Vamos simplificar o denominador:
(2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2
Portanto:
an+1an = n+24n^2 + 6n + 2

Passo 7

Calculando o limite quando L = limn to infty n+24n^2 + 6n + 2 tende ao infinito:
Vamos calcular:
L = limn to infty n4n^2 = limn to infty 14n = 0
Note que no numerador temos um termo de grau 1 ( ) e no denominador um termo de grau 2 ( ). Quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam.
Então:

Passo 8

Interpretando o resultado do teste:
Como e , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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