Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
ј) .

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe:
Enunciado: Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert) para determinar se a série converge ou diverge.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Entendendo o Teste da Razão:
O Teste da Razão funciona assim: para uma série , calculamos o limite quando tende ao infinito da razão .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificando e :
Para a nossa série:
Então, o próximo termo seria:

Passo 4

Calculando a razão :
Vamos montar a razão:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Vamos simplificar os fatoriais:
Substituindo na razão:
Cancelando e :

Passo 6

Simplificando ainda mais:
Vamos simplificar o denominador:
Portanto:

Passo 7

Calculando o limite quando tende ao infinito:
Vamos calcular:
Note que no numerador temos um termo de grau 1 ( ) e no denominador um termo de grau 2 ( ). Quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam.
Então:

Passo 8

Interpretando o resultado do teste:
Como e , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
i) ;
Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
а) ;