Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
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.
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Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe:
Enunciado: Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
Conteúdo da matéria: Aqui estamos lidando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert) para determinar se a série converge ou diverge.
O que vamos precisar: Vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Entendendo o Teste da Razão:
O Teste da Razão funciona assim: para uma série
, calculamos o limite
quando
tende ao infinito da razão
.
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Identificando
e
:
Para a nossa série:
Então, o próximo termo seria:
Passo 4
Calculando a razão
:
Vamos montar a razão:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Vamos simplificar os fatoriais:
Substituindo na razão:
Cancelando
e
:
Passo 6
Simplificando ainda mais:
Vamos simplificar o denominador:
Portanto:
Passo 7
Calculando o limite quando
tende ao infinito:
Vamos calcular:
Note que no numerador temos um termo de grau 1 (
) e no denominador um termo de grau 2 (
). Quando
tende ao infinito, os termos de maior grau dominam.
Então:
Passo 8
Interpretando o resultado do teste:
Como
e
, pelo Teste da Razão, a série converge.
Resposta
A série
converge.
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i) ;
i)
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а) ;
а)