Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c) sumn=1^infty raizn x^n3^n+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty raizn , x^n3^n+1
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouquinho a expressão da série para facilitar nossos cálculos. Observe que:
raizn , x^n3^n+1 = raizn3 ( x3 )^n
Isso ajuda a identificar melhor os termos que envolvem .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | < 1, , se
an+1an = raizn+1 , x^n+1 / 3^n+2raizn , x^n / 3^n+1 = raizn+1raizn cdot x3
então a série converge.
No nosso caso, . Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | raizn+1raizn cdot x3 | = limn to infty | raiz1 + 1n cdot x3 | = | x3 | :
Isso porque .

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que | x3 | < 1 :
|x| < 3
Isso significa que:
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que -3 < x < 3 , então o intervalo é:
Mas precisamos verificar se a série converge nos extremos e .

Passo 7

Para sumn=1^infty raizn cdot 3^n3^n+1 = sumn=1^infty raizn3 :
A série se torna:
sumn=1^infty raizn cdot (-3)^n3^n+1 = sumn=1^infty raizn cdot (-1)^n3
Isso é uma série divergente porque diverge.
Para :
A série fica:
Essa também diverge, já que não converge absolutamente e a alternância não é suficiente para a convergência.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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