Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso faz parte do conteúdo de séries de potências. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouquinho a expressão da série para facilitar nossos cálculos. Observe que:
Isso ajuda a identificar melhor os termos que envolvem
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para uma série
, se
então a série converge.
No nosso caso,
. Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite
L = limn to infty | raizn+1raizn cdot x3 | = limn to infty | raiz1 + 1n cdot x3 | = | x3 | :
Isso porque
.
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que
| x3 | < 1 :
Isso significa que:
Então, o raio de convergência é
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que
-3 < x < 3 , então o intervalo é:
Mas precisamos verificar se a série converge nos extremos
e
.
Passo 7
Para
sumn=1^infty raizn cdot 3^n3^n+1 = sumn=1^infty raizn3 :
A série se torna:
Isso é uma série divergente porque
diverge.
Para
:
A série fica:
Essa também diverge, já que
não converge absolutamente e a alternância não é suficiente para a convergência.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.