Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de até
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Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar o comprimento do arco da curva dada por , de até . O que a gente vai usar aqui é a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço, que envolve derivar a função vetorial e integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar em relação a . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada componente. Então:
Calculando cada derivada:
Portanto,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que é a magnitude do vetor . A fórmula para o módulo de um vetor é:
Aplicando isso à nossa derivada:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Primeiro, expanda os quadrados:
Somando tudo:
Os termos e se cancelam. Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :
Então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula do comprimento de arco:
Como é uma constante, podemos tirar da integral:

Passo 6

A integral de em relação a é . Então:

Resposta

O comprimento do arco da curva de até é unidades.

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