Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
©
;
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Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar o comprimento do arco da curva dada por , de
até
. O que a gente vai usar aqui é a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço, que envolve derivar a função vetorial e integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
em relação a
. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada componente. Então:
Calculando cada derivada:
Portanto,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que é a magnitude do vetor
. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Aplicando isso à nossa derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Primeiro, expanda os quadrados:
Somando tudo:
Os termos e se cancelam. Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :
Então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula do comprimento de arco:
Como
é uma constante, podemos tirar da integral:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva de
até
é
unidades.
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, mostre que
Seja
. Qual o valor máximo de
?
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