Seja a função f dada por f(x, y) = x^2 + y^2. Encontre:
Im(f)

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para encontrar a imagem da função . O conteúdo aqui envolve noções de funções e seus conjuntos imagem, e para isso vamos precisar entender o que significa a imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de uma função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando você coloca todos os possíveis valores das variáveis de entrada. No nosso caso, as variáveis de entrada são e , que são números reais.

Passo 3

A função dada é . Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, ou seja, e . Portanto, a soma desses dois quadrados também será maior ou igual a zero:

Passo 4

Agora, vamos pensar nos valores que pode assumir. Como e são números reais, podemos escolher qualquer par de números que, ao serem elevados ao quadrado e somados, resultem em um valor não negativo. Por exemplo:
  • Se e , então .
  • Se e , então .
  • E assim por diante, sempre obtendo um número maior ou igual a zero.

Passo 5

Além disso, para qualquer número real , sempre existem valores de e que satisfazem . Por exemplo, se escolhermos e , teremos . Portanto, todos os números reais não negativos são possíveis valores de .

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja:

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