Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai convergir. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série olhando para o limite do quociente entre termos consecutivos. Matemáticamente, para uma série , calculamos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos :
Agora, vamos achar :
Agora, calculamos o quociente :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Simplificando a raiz:
Então, o limite fica:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que está entre -3 e 3:
Agora, somando 2 em todas as partes:
Então, o raio de convergência é 3.

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais e .
  • Para :
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste de Leibniz, como tende a 0 e é decrescente, a série converge.
  • Para :
Essa é uma série p com , que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Suponha que o plano tangente a em tenha a equação . Estime .
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Um garoto tem peso e altura . Use a aproximação linear para estimar a variação em se mudar para .
Seja . Use a aproximação linear em um ponto apropriado para estimar .