Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai convergir. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série olhando para o limite do quociente entre termos consecutivos. Matemáticamente, para uma série , calculamos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an = (x-2)^n3^n raizn+1 :
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty | (x-2)3 cdot raizn+1n+2 | tende ao infinito:
raizn+1n+2 = raiz1 + 1n1 + 2n to raiz11 = 1 quando n to infty
Simplificando a raiz:
L = | x-23 |
Então, o limite fica:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que | x-23 | < 1 :
|x-2| < 3
Resolvendo essa desigualdade:
-3 < x - 2 < 3
Isso significa que -1 < x < 5 está entre -3 e 3:
Agora, somando 2 em todas as partes:
Então, o raio de convergência é 3.
Passo 6
Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais sumn=0^infty (-1-2)^n3^n raizn+1 = sumn=0^infty (-3)^n3^n raizn+1 = sumn=0^infty (-1)^nraizn+1 e sumn=0^infty (5-2)^n3^n raizn+1 = sumn=0^infty 3^n3^n raizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1 .
Para :
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste de Leibniz, como tende a 0 e é decrescente, a série converge.
Para :
Essa é uma série p com , que diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .