Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a função
. Primeiro, precisamos encontrar o domínio dessa função, que é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Também vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores possíveis que a função pode assumir. Depois, vamos estudar os conjuntos de níveis da função, identificar os tipos de curvas que eles representam e esboçar como esses níveis dividem o domínio.
Passo 2
Encontrando o domínio da função
:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida. Para a função
, precisamos garantir que o denominador
não seja igual a zero, pois divisão por zero não é definida.
Então, a condição para o domínio é:
Isso implica que:
Portanto, o domínio é todos os pares
onde
pode ser qualquer número real, exceto zero, e
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Determinando a imagem da função
:
A imagem da função são todos os possíveis valores que
pode assumir. Observando a expressão
, percebemos que para qualquer valor real de
e qualquer
, o quociente será um número real. Isso significa que
pode assumir qualquer valor real.
Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
Estudando os conjuntos de níveis da função
:
Conjuntos de níveis são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante
. Então, para cada valor
, temos:
Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
:
Essa equação representa parábolas com abertura para cima ou para baixo, dependendo do sinal de
:
- Se
, a parábola abre para cima. - Se
, a parábola abre para baixo.
Quando
, a equação
representa o eixo
, que é uma reta horizontal.
Passo 5
Esboçando a decomposição do domínio pelos conjuntos de níveis:
No plano
, os conjuntos de níveis
são várias parábolas que se abrem para cima ou para baixo, dependendo do valor de
. Essas parábolas dividem o domínio em regiões onde a função
assume diferentes valores constantes.
Para visualizar:
- Para cada valor de
, desenhamos uma parábola . - Essas parábolas não se intersectam e preenchem todo o domínio exceto onde
. - O eixo
também faz parte dos conjuntos de níveis como a parábola degenerada.
Essa decomposição ajuda a entender como a função varia em diferentes regiões do plano
.
Resposta
Domínio: Todos os pares
com
.
Imagem: Todos os números reais (
).
Conjuntos de níveis: Parábolas da forma
, onde
é uma constante real. Essas curvas dividem o domínio em regiões onde a função assume valores constantes, formando parábolas que abrem para cima ou para baixo conforme o sinal de
.
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