Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a função . Primeiro, precisamos encontrar o domínio dessa função, que é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Também vamos determinar a imagem da função, que são todos os valores possíveis que a função pode assumir. Depois, vamos estudar os conjuntos de níveis da função, identificar os tipos de curvas que eles representam e esboçar como esses níveis dividem o domínio.

Passo 2

Encontrando o domínio da função :
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Para a função , precisamos garantir que o denominador não seja igual a zero, pois divisão por zero não é definida.
Então, a condição para o domínio é:
Isso implica que:
Portanto, o domínio é todos os pares onde pode ser qualquer número real, exceto zero, e pode ser qualquer número real.

Passo 3

Determinando a imagem da função :
A imagem da função são todos os possíveis valores que pode assumir. Observando a expressão , percebemos que para qualquer valor real de e qualquer , o quociente será um número real. Isso significa que pode assumir qualquer valor real.
Portanto, a imagem da função é:
(o conjunto de todos os números reais)

Passo 4

Estudando os conjuntos de níveis da função :
Conjuntos de níveis são as curvas no plano onde a função assume um valor constante . Então, para cada valor , temos:
Podemos rearranjar essa equação para expressar em termos de :
Essa equação representa parábolas com abertura para cima ou para baixo, dependendo do sinal de :
  • Se , a parábola abre para cima.
  • Se , a parábola abre para baixo.
Quando , a equação representa o eixo , que é uma reta horizontal.

Passo 5

Esboçando a decomposição do domínio pelos conjuntos de níveis:
No plano , os conjuntos de níveis são várias parábolas que se abrem para cima ou para baixo, dependendo do valor de . Essas parábolas dividem o domínio em regiões onde a função assume diferentes valores constantes.
Para visualizar:
  • Para cada valor de , desenhamos uma parábola .
  • Essas parábolas não se intersectam e preenchem todo o domínio exceto onde .
  • O eixo também faz parte dos conjuntos de níveis como a parábola degenerada.
Essa decomposição ajuda a entender como a função varia em diferentes regiões do plano .

Resposta

Domínio: Todos os pares com .
Imagem: Todos os números reais ( ).
Conjuntos de níveis: Parábolas da forma , onde é uma constante real. Essas curvas dividem o domínio em regiões onde a função assume valores constantes, formando parábolas que abrem para cima ou para baixo conforme o sinal de .

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