Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante. dy/dx = 5y -infinito < x < infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. A equação que a gente tem é d y/d x = 5 y. Para isso, vamos precisar entender sobre equações lineares de primeira ordem e como aplicar o fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é . No nosso caso, a equação já está quase nesse formato, mas podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, identificamos os termos P(x) e Q(x). Comparando com a forma padrão:

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo P(x):

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):

Passo 6

A ideia do fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação em uma derivada de um produto. Então, podemos escrever:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, isolamos y para encontrar a solução geral da equação:

Resposta

A solução geral da equação é , onde C é uma constante.

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